第一章习题课函数与极限函数一、连续与间断、三、 极限1eo00x机动自录上页下页返回结束
二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第一章
一、 函数1.函数的概念定义：设DR，函数为特殊的映射 :D*f(D) cR值域定义域其中 f(D)=(yly= f(x),xED)图形:y= f(x)VC=((x,y)y= f(x),xe D)（一般为曲线）OxDoeo0x机动目录上页下页返回结束
y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数的特性有界性，单调性，奇偶性，周期性3.反函数设函数f:D→f(D)为单射，反函数为其逆映射f-l : f(D) → D4.复合函数给定函数链f:D1→f(D1)g :D→ g(D) C D则复合函数为 fg:D→f[g(D)]5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一人表达式的函数10oo10x机动目录上页下页返回结束
2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3x+1,x<1求 fLf(x)],例1. 设函数f(x)x≥1’x解：x<0f(x)<13f(x)+1,f[f(x)]=f(x),f(x)≥13(3x +1) +19x+4, x<03x+1，0≤x<1x≥1xoleo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( ) + = x x x x f x f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x 0 = 9x + 4 , x 0 3(3x +1) +1 0 x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设f(x)+f(-)=2x，其中x≠0,x±1求f(x)解：利用函数表示与变量字母的无关的特性令=，即x=，代入原方程得xf()+f(t)=台，即 f()+f(x)=u-1今即x=代入上式得u1-xu2(x-1)()+f()=2(u,即()+()xu11画线三式联立 —> f(x)= x+二x 1-xoelolo0机动目录上页下页返回结束
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t − = , 1 1 t x − = 代入原方程得 , 1 1 1 u u x − − = 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习1.下列各组函数是否相同？为什么？(1) f(x) = cos(2arccosx) 与p(x) = 2x2 -1, x E[-1,1)相同x≤ax(2) f(x)a+x-(a-x)2 1E0x>aa相同10,x≤0与β(x)= f [f(x))(3) f(x)x>0x,相同10000x机动自录上页下页返回结束
思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? (1) f (x) = cos(2arccos x) ( ) 2 1, [ 1,1] 2 与 x = x − x − = a x a x x a f x , , (2) ( ) 2 ( ) 2 1 与(x) = a + x − a − x = , 0 0, 0 (3) ( ) x x x f x 与(x) = f [ f (x)] 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2下列各种关系式表示的V是否为x的函数？为什么？1(1) 不是V?Vsinx-1(2) y=max( sinx, cosx), xe[O,]是(3) y=arcsinu, u=2+x2不是0≤x≤"cos x,4提示：(2)y=元元<x≤sinx,24leo0x机动目录上页下页返回结束
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2 y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0 cos x, x 4 2 sin x, x 是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.下列函数是否为初等函数？为什么？x, x≥02(l) f(x) :Vx-x, x01.xV(x-1)2.x1x>x-1x±1Ax>0(4) f(x)xERx≤01+x以上各函数都是初等函数eo0x机动自录上页下页返回结束
+ − = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x − = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶ − = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x 0 x 1 xR 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? − = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
4. 设 f(x)=ex*, f[p(x)=1-x,且p(x)≥0,求p(x)及其定义域.x≥8x-3.5. 已知 f(x) =[f(x+5)], x<8 ,求f(5).1 csc2 x-cos? x,求 f(x)6.设 f(sin x+sin x4. 解: : (x)=et, [0(x)=ex)e2(x) =1-x由得p(x)= /ln(1-x) ,x E(-0,0)OeoD0机动目录上页下页返回结束
4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x x 且 求 (x) 及其定义域 . 5. 已知 + − = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x (x) (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x≥8x-3,[F(x+5)], x<8 ,求f(5).5. 已知f(x)解: f(5)= fLf(10)]= f(10-3)= f(7)= f[f(12)]= f(12-3) = f(9) =61csc2 x-cos2 x, 求 f(x).6. 设f(sin x+sin x11解:： f(sin x++sin-x-12sinxsin' x2=(sin x +:sinx:: f(x)=x2-3oleo0x机动自录上页下页返回结束
= f[ ] 5. 已知 + − = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2 f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束