第八章欧氏空间8.1向量的内积正交基8. 28. 3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 课外学习9：
8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积，欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1：准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两零向量的夹角、两向量正交，两向量的距离2.掌握常见的几种欧氏空间：会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与m的内和于这个内积构成欧氏空间，?3.掌握及其它不等式，并会用它来证明另一些不等式三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念，2.不等式,>5,5>>的灵活运用理学院数学系
, , , 2 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1. 准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2. 不等式 , , , 2 的灵活运用. 一些不等式 理学院数学系
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间，如果对于V中任意一对向量,n有一个确定的记作的实数与它们对应，并且下列条件被满足：1)=2)=+3)=a4)当≠0时,>0这里,n，是V的任意向量，a是任意实数，那么叫做向量s与n的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）理学院数学系
1) , , 2) , , , 3) a , a , 4) 当 0时, , 》0 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 , 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： , 这里,, 是V的任意向量，a是任意实数， , 那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 理学院数学系
例1 在Rn里，对于任意两个向量=(xi,x2..xn), n=(y, y2.... yn)规定= Xiy1 + X2y2 +... +XnYn容易验证，关于内积的公理被满足，因而P对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2 在里，对于任意向量RnE =(xi,X2..., Xn), n = (i, Y2.... yn)规定= xiy1 +2x2y2 +...+nxnyn不难验证，R"也作成一个欧氏空间理学院数学系
n R ( , ,., ), 1 2 n x x x ( , ,., ) 1 2 n y y y n n , x y x y . x y 1 1 2 2 例 1 在 规定 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的公理被满足,因而 n R 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. n R ( , ,., ), 1 2 n x x x ( , ,., ) 1 2 n y y y n n , x y 2x y . nx y 1 1 2 2 例 2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间. n R 理学院数学系
例3令C[a,b|是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的向量空间，f(x),g(x)eC[a,b]我们规定= 「° f(x)g(x)dx根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)---4)都被满足，因而C[a,b|作成一个欧氏空间例4令H是一切平方和收敛的实数列8+8=(Xi,X2,.n=所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法理学院数学系
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 f (x), g(x) C[a,b] 我们规定 所成的向量空间, f , g f ( x )g ( x ) dx . b a 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ( , , , , ), x1 x2 xn 1 2 n n x 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法: 理学院数学系
设E = (xi,x2,..),n=(yi, y2,...),aeR规定+n=(Xi +y1,x2 + y2....)aE=(axj,ax2...的内积由公式向量 ≤ =(xi,x2...),n=(y, y,...8Z=Xnynn=l给出，那么H是一个欧氏空间为向量空间练习11 α=(ai,a,),β=(b,b,)中任意两向量,证明：R2 对(α,β)=ma,b +na,b,作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0理学院数学系
设 ( , ,.), ( , , ), . x1 x2 y1 y2 a R ( , ,.); 1 1 2 2 x y x y ( , ,.) 1 2 规定 a ax ax 1 , n n n x y 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. ( , ,.), ( , , ) x1 x2 y1 y2 ( , ), ( , ) a1 a2 b1 b2 2 R 1 1 2 2 , ma b na b 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0. 理学院数学系
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根.叫做的长度，向量的长度用符号15表示：=5,≤>定理8.1.1在一个欧氏空间单，对于任意向量5,n有不等式(6)当且仅当与n线性相关时，上式才取等号理学院数学系
, , , 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号 表示： 定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 , 有不等式 , , , 2 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号. 理学院数学系
定义3设与n是欧氏空间的两个非零向量与n的夹角日由以下公式定义：cosO=≤5,n>[] n]例5 令是例1口Rn中的欧氏空间.R"中向量的长度是=(Xi, x)2.....=/i+x-txn由长度的定义，对于欧氏空间中任意向量和任意实数a，有理学院数学系
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： , cos 例5 令 n R 是例1 中的欧氏空间. 中向量 ( , ,., ) 1 2 n x x x 的长度是 2 2 2 2 1 , . n x x x 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有 n R 理学院数学系
=,>=,>=a注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的绝对值与的长度的乘积例6考虑例1的欧式空间由不等式（6推出，对于任意实数有不等式ai,a2,..an,bi,b2,...,b,(ab +...+a,b,)≤(a +...+a.)*+...+bCb（7）式称为柯西（Cauchy）不等式理学院数学系
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长 度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积. 例 6 考虑例 1 的欧式空间 n 由不等R 式(6)推出,对于任意实数 n n a , a , a ,b ,b , ,b 1 2 1 2 有不等式 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 1 n n n n a b a b a a b b (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式. a a, a a , a 2 理学院数学系
例7考虑例3的欧氏空间c[a,b]，由不等式(6)推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数f(x),g(x),有不等式(8)f(x)g(x)dx≤ / f" (x)dx"g (x)dx（8）式称为施瓦兹（Schwarz）不等式（7）和（8）在欧氏空间的不等式里被(6)统一起来因此通常把（6式称为柯西-施瓦兹不等式理学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数 f (x), g(x), 有不等式 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx (8) (8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式. 理学院数学系