第二章第一节导数的概念一、引例二、 导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系O00l0x机动目录上页下页返回结束
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章
一、 引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为s = f(t)则t.到t的平均速度为自由落体运动f(t)- f(to)22=2gt2t-to而在 t.时刻的瞬时速度为f(to)f()sf(t)- f(to)0ttov= limt-tot-→toleo00x机动目录上页下页返回结束
一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 2 2 1 s = gt s o ( )0 f t f (t) t 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.曲线的切线斜率Lf(x)V=曲线 C:y=f(x)在 M点处的切线NT割线MN的极限位置MTMc(当→α时)0xX0x切线 MT的斜率α?k = tanα = lim tan@-αf(x)- f(xo)割线 MN的斜率 tan@ :x-Xof(x)- f(xo)k= lim 兰x-Xox-→xoo1o0x机动自录上页下页返回结束
x y o y = f (x) C 2. 曲线的切线斜率 曲线 N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(to)f(t)sf(t) - f(to)0to瞬时速度 v= limyt-tot→>toy= f(x)//Nf(x)- f(xo)切线斜率 k= limTMCx-xox-→xo2两人问题的共性xox0xα0所求量为函数增量与自变量增量之比的极限类似问题还有加速度是速度增量与时间增量之比的极限变化率问题角速度是转角增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限电流强度是电量增量与时间增量之比的极限O000x机动目录上页下页返回结束
两个问题的共性: s o 0 t ( )0 f t f (t) 瞬时速度 t 切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 导数的定义定义1.设函数 y=f(x)在点 x,的某邻域内有定义Aylim f(x)-f(x) = limAy= f(x)- f(x)若△x=x-xox→xox-Xo△x→0 △ x存在,则称函数f(x)在点x.处可导并称此极限为y= f(x)在点x,的导数.记作:df(x)dyyx=xo ; f'(xo);dx x = xodxx = xoAy|x=xo = f(xo) = lim即△x0 △xf(xo +△x)- f(xo)f(xo +h)- f(xo)2 = lim= limh△xh->0△x->0oeoDex机动目录上页下页返回结束
二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x = →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y = ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y = ( ) 0 = f x x y x = →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
运动质点的位置函数s=f(t)f(to)f(t)、s在t.时刻的瞬时速度0tof(t)- f(to)v = lim f'(to)t-tot→to曲线 C:J=f(x）在 M点处的切线斜率yf(x)- f(xo)k= lim y= f(x)//Nx-xox→xoTMc= f'(xo)Xoxx0说明：f(x）是由 xo点决定的,并α不依赖于△x，即f（x）的值与△x的选取方式无关o10ol0lx机动目录上页下页返回结束
运动质点的位置函数 s = f (t) s o 0 t ( )0 f t f (t) 在 时刻的瞬时速度 t 0 t 曲线 C : y = f (x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x ( ) 0 = f t ( ) 0 = f x 说明: 不依赖于Δx , 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 f x ( ) 0 f x ( ) 是由 x0点决定的, 并 的值与Δx 的选取方式无关
Ayf(x)- f(xo)△y = f(x)- f(x.)limlim△x=x-xox→xo△x→0 △xx-Xo若上述极限不存在，就说函数在点x不可导若 lim,=α,也称 f(x) 在 xo 的导数为无穷大,Ax-0 Ax单侧导数定义2.设函数 =f(x)在点 x,的某个右(左)邻域内有定义，若极限f(xo + △x) - f(xo)Ay一lim limAxAx-→0+ △x△x-→0+Xo(x→0~)(△ x→0)存在,则称此极限值为f(x)在x。处的右(左)导数,记作O0o00x机动目录上页下页返回结束
( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 0 x 若 lim , 0 = → x y x 也称 在 就说函数 的导数为无穷大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单侧导数 在点 的某个右 邻域内 若极限 (左) ( 0 ) → − x ( 0 ) → − x 0 x 定义2 . 设函数 有定义, 存在,则称此极限值为 在 处的右(左) 导数,记作
f*(xo) (f'(xo))f(xo +△x)-f(xo)即J(xo)= limAx△x→0±例如,f(x)=x在x=0处有x0f*(0)= +1,f'(0) =-1结论：函数=f(x)在点x。可导的充分必要条件是 f(xo)与f(xo)存在,且 J*(xo)= f'(xo)f(xo)存在 二= f(xo)= f'(xo)简写为结论:函数 f(x)在点 x。处右(左)导数存在f(x)在点x必右(左)连续1eo00x机动自录上页下页返回结束
( ) 0 f x + 即 f+ (x0 ) = ( ( )) 0 f x − − − 例如, f (x) = x 在 x = 0 处有 x y o y = x 结论: 函数 在点 且 ( )0 f x 存在 ( )0 f x − 简写为 结论: 函数 在点 处右 导数存在 在点 必 右 连续. (左) (左) 可导的充分必要条件 是 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若函数在开区间I内每点都可导，就称它在I内可导若函数 f(x)在开区间(a,b)内可导, 且 f(a)与f(b)都存在，则称 f(x)在闭区间[α,b]上可导显然：f(x)在闭区间[a,bl上可导 >f(x)EC[a,b)此时导数值构成的新函数称为导函数df(x)dy记作：y'；f(x)dxdxdf(xo)注意：f'(xo) = f'(x)Xx=xodxOo00x机动目录上页下页返回结束
若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( )0 f x 0 ( ) x x f x = = x f x d d ( ) 0 就称它在 I 内可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 f (b) − 与 都存在 , 则称 显然: 在闭区间 [a , b] 上可导 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 且
例1. 求函数f(x)=C (C为常数)的导数C-C解: y'= lim f(x+△x)-f(x)=0 lim△x->0AxAxAr-0即(C)=0例2.求函数 f(x)=xn(n E N+)在x = α处的导数x"-anf(x)- f(a)解: f(a)= lim J= limx-→ax-ax→a x-a.2..n-3= lim(x+ax+axx-→an-1=naO000x机动自录上页下页返回结束
例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解: y 即 例2. 求函数 解: x a f x f a − ( ) − ( ) x→a = lim x a x a n n x a − − = → lim lim( x→a = n−1 x −2 + n a x 2 −3 + n a x + ) −1 + n a x f x x f x ( + ) − ( ) 0 lim → = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束