第四章第二节微积分的基本公式一、引例二、微积分基本定理oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、微积分基本定理 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第四章
一、引例在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T,T,1内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)T这里s(t)是v(t)的原函数.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性oleooox机动目录上页下页返回结束
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 微积分基本定理1、变限积分函数Def: 设 f(x)e R[a,b], 则称F(x) = [" f(t)dt, G(x) =[" f(t)dt, x e[a,b]分别为由f(x)定义的积分上限上积分下限函数，简称为变上限与变下限积分函数二者无本质区别G(x)= f" f(t)dt = -f" f(t)dtProp: 设 f(x)e R[a,b]则 F(x)= (f(t)dt在[a,b]上连续oleoloex机动自录上页下页返回结束
二、微积分基本定理 f (x) R[a,b], F(x) f (t)dt, G(x) f (t)dt, x [a,b] b x x a = = ( ) ( ) ( ) b x x b G x f t dt f t dt = = − 1、变限积分函数 Def : 设 则称 Prop : 设 f (x) R[a,b], ( ) ( ) [ , ] . x a F x f t dt a b = 则 在 上连续 分别为由 f (x)定义的积分上限与积分下限函数, 简称为 变上限与变下限积分函数. 二者无本 质区别 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 设 If(x)< M, xe[a,b]. 则Vxe[a,b]IF(x+△x)- F(x)H (*+ f(t)dt - [ f(t)dt = (+ f(t)dt/≤ (+2/f(t)Idt/≤M.Ax→0: F(x)E C[a,b].例1．设,f(x)在[0,1]上单减则Vx E(0,1),有( f(x)dx ≥a/ f(x)dx证: 当xe[a,1j时, f(x)≤f(a), . ["f(x)dx≤(1-a)f(a),( f(x)dx ≤ f(a),即 1-a当x E[O,a]时, f(x)≥ f(a), :. ( f(x)dx ≥af(a),OeoD0机动自录上页下页返回结束
证: 例1. 证: 设 设 f (x)在[0,1]上单减, | f (x)| M, x[a,b]. 则x[a,b], | ( ) ( )| | ( ) ( ) | + − = − + x a x x a F x x F x f t dt f t dt | ( ) | + = x x x f t dt | | ( ) | | x x x f t dt + M x →0 F(x)C[a,b]. (0,1), ( ) ( ) . 0 1 0 a x 有 f x dx a f x dx 当x[a,1]时，f (x) f (a), ( ) (1 ) ( ), 1 f x dx a f a a − 1 1 ( ) ( ), 1 a f x dx f a a − 当x a [0, ]时，f x f a ( ) ( ), 0 ( ) ( ), a f x dx a f a 则 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[" f(x)dx ≥f(a),即 qJo-"f(x)dx≤=" f(x)dx所以Qa" f(x)dx≤(1-a) [~ f(x)dx整理即得结论1e000x机动目录上页下页返回结束
所以 即 整理即得结论. 0 1 ( ) ( ), a f x dx f a a − a a f x dx a f x dx a 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 0 ( ) (1 ) ( ) a a a f x dx a f x dx − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、微积分基本定理定理1.若,f(x)EC[a,bl,则变上限函数= f(x)7yD(x)=[f(t)dt(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.0b xaXET证: Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x+h)-Φ(x)1[* f()d- ()drhh.1 rx+hf(t)dt=f() (x00l0l0x机动自录上页下页返回结束
y = f (x) a b x o y (x) x x + h 2、微积分基本定理 则变上限函数 = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x) h 1 = − + x a x h a f (t)dt f (t)dt + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 若
说明：1）定理1建立了导数和积分之间的本质联系2）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路，df(t)dt =-f(x)3)变限积分求导dxdrp(x)f(t)dt = f[p(x)lp'(x)dxdddp(x)p(x)f(t)dtFf(t)dt +odTdxJy(x)dxJy(xa= fTp(x)lp'(x)- fy(x)lyr'(x)O000x机动目录上页下页返回结束
说明: 2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 3) 变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x 1) 定理1建立了导数和积分之间的本质联系
9dt0-0例2. 求 limcosxex->01-cos"x.-sinx)解：原式 =-lime2e2xx-→>0例3.确定常数a,b,c的值,使ax-sinx010=c (c0),limx-0 ("in(I+t?)d tb解:：x→0时,ax-sinx→0,c0,b=0.a-cosxa-cos x原式= lim: lim=Cx=>0 In(1 + x2)x-02c 0,故 aα=l. 又由1-cosx～1x得C=7o100010?说明目录上页下页返回结束
( sin ) 2 cos e x x − − 例2. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a =1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =
例4. 设f(x)在[0,+0)内连续,且f(x)>0,证明只要证F(x)=Jtf(t)dtif(t)dtF'(x)>0在(0,+8)内为单调递增函数.xf(x)J。f(t)dt-f(x)J。tf(t)dt证: F'(x)=(Jf(t)dt)2f(x)f。(x-t)f(t)dtf(x). (x-)f()x>0(J。f(t)dt )?(Jef(t)dt )2(0<≤<x)F(x)在(,+0)内为单调增函数oleo0x机动自录上页下页返回结束
= f x t f t t x ( ) ( )d 0 − 例4. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t)dt x x f x f t t x ( ) ( )d 0 ( ) 2 0 f (t)dt x f x f t t x ( ) ( )d 0 (x −t) 0 只要证 F(x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = ( ) 2 0 f (t)dt x f (x) (x −) f () x (0 x)
定理2．设F(x)是连续函数 f(x)在[α,bl上的一个原函数，则f(x)dx= F(b)-F(α)（牛顿-莱布尼兹公式)证：根据定理1，~f(x)dx是f(x)的一个原函数，故F(x)= (~f(x)dx +C令x=α,得C=F(a),因此~f(x)dx = F(x)-F(a)再令x=b,得记作= F(x)~ f(x)dx = F(b) - F(a)a说明：1.该公式揭示了定积分和不定积分之间的密切联系，将求定积分化为求原函数问题2.应用该公式必须注意定理条件1eo00x机动目录上页下页返回结束
f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = − 得 记作 定理2. 函数 , 则 说明: 1. 该公式揭示了定积分和不定积分之间的密切联 系, 将求定积分化为求原函数问题. 2. 应用该公式必须注意定理条件