第四章第三节定积分的应用一物理上变力沿直线所作的功一、液体的侧压力二、三、 引力问题四、 转动惯量(补充olelox机动目录上页下页返回结束
第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用—物理上 第四章
一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=α移动到x=b，力的方向与运动方向平行，求变力所做的功在[a,b]上任取子区间[x,x+dx]，在其上所作的功元素为dW = F(x)dxb xx x+dxa因此变力F(x) 在区间[α,b]上所作的功为hW = F(x)dxaO0000?机动自录上页下页返回结束
一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 = b a W F(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.在一个带+g电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷α处移动到b处（α<b)求电场力所作的功解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为qF=k+q+120ar r+drkq则功的元素为dWdr2kq所求功为WakqK说明：电场在r=α处的电势为aoe000x机动目录上页下页返回结束
例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a r r + dr b r +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为 = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下
例2．在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从点α处移动到点b处(如图)，求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图．由波义耳一马略特定律知压强kk故作用在活塞上的p与体积V成反比，即pVxsF=p.S_k力为xSK功元素为dW = Fdx==dxb xo a xx+dxxbk-dx = k[lnx]= k lnW=所求功为aaxo0000x机动自录上页下页返回结束
S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m,底圆半径为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？解：建立坐标系如图．在任一小区间0[x,x+dx] 上的一薄层水的重力为5mxg : p.π32 dx (KN)x +dx这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为dW=9元g pxdx3m故所求功为x25XW=(设水的密9元 g pxdx= 9元 g p2100度为p=112.5元g p (KJ )O10000?机动自录上页下页返回结束
例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x, x + dx] 上的一薄层水的重力为 g 3 dx 2 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g x dx 故所求功为 = 5 0 W 9 g x d x = 9 g 2 2 x =112.5 g ( KJ ) 设水的密 度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m
二、液体侧压力设液体密度为p深为 h处的压强: p=gp hh·当平板与水面平行时平板一侧所受的压力为P=pA面积为 A 的平板·当平板不与水面平行时所受侧压力问题就需用积分解决o0000x机动自录上页下页返回结束
面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: p = g h 当平板与水面平行时, h P = p A 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为 • •
例4.一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为β的液体，求桶的一个端面所受的侧压力解：建立坐标系如图，所论半圆的方程为y=±/R?-x2(0≤x≤R)利用对称性，侧压力元素0XydP=2gpx/R2 -x2 dxx+dx端面所受侧压力为R2gpR3Rx(R2g pxVR?-x? dxp=3O0000x机动自录上页下页返回结束
小窄条上各点的压强 p g x 3 3 2g R = 例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 (0 x R) 利用对称性 , 侧压力元素 = R P 0 2g x R x dx 2 2 − o x y R x x + d x 2 2 dP = 2 R − x g x 端面所受侧压力为 dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
说明：当桶内充满液体时,小窄条上的压强为g p(R+x)侧压力元素dP=2 g p(R+xNR2 -x2 dx故端面所受侧压力为R02g p(R+x)/R2-x? dxy-Rx+dx奇函数R/R? - x? dx=4RgpRx令x=RsintR2x RX=4Rg p[=/R?arcsinJo2R2=πgp R3O10000?机动自录上页下页返回结束
0 arcsin 2 2 4 g 2 2 2 R R R x R x x = R − + 2 d , 2 2 R − x x 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g (R + x), 侧压力元素 dP = 故端面所受侧压力为 奇函数 3 = g R g (R + x) = − R R R x x 0 2 2 4 g d 令 x = Rsint 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y R x x + d x
三、 引力问题质量分别为m1，m2 的质点，相距r，m2二者间的引力 :mim2大小：F=kmy方向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.O0000?机动自录上页下页返回结束
三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , m1 m2 r 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5．设有一长度为l.线密度为μ的均匀细直棒，在其中垂线上距α单位处有一质量为m的质点M.试计算该棒对质点的引力yMdF细棒上小段解：建立坐标系如图：aX[x,x+dx]对质点的引力大小为dFLmudxdFdF=k2?a-+xx+dx故垂直分力元素为0x1 x/2dF,=-dFcosα2dxmudxa-kua+222a+xa+x+xQ0000机动自录上页下页返回结束
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, M 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. y 2 l 2 l − [x, x + dx] 细棒上小段 对质点的引力大小为 d F = k m dx 2 2 a + x 故垂直分力元素为 d Fy = −dF cos a + = − 2 2 d a x m x k 2 2 a x a + 2 3 ( ) d 2 2 a x x km a + = − a o x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 试计算 d F d Fx d Fy x + d x