第四节第四章反常积分积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分oleoolox机动目录上页下页返回结束
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第四章
一、无穷限的反常积分1引例.曲线y=和直线x=1 及x轴所围成的开口曲x边梯形的面积可记作+ dxx2其含义可理解为 dxbA= limlim.2b→+eb+8xlimbb-→>+o1eo0x机动自录上页下页返回结束
一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作 + = 1 2 d x x A 其含义可理解为 →+ = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim = − →+ = − b→+ b 1 lim 1 =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 设f(x)EC[a,+0),取b>α,若Alim f° f(x)dxb+a存在，则称此极限为,f(x）的无穷限反常积分，记作6f(x)dx = lim ( f(x)dxb-+oJa这时称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在就称反常积分f(x)dx发散.类似地,若 f(x)EC(-o0,bl，则定义F f(x)dx = lim (~ f(x)dxa-1eo00x机动自录上页下页返回结束
定义1. 设 f (x)C[a, + ), 取b a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 f(x) EC(-0,+0), 则定义[-~ f(x) dx = limf(x)dx+ limf(x)dxa-b→+8:（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称f(x)dx 发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现0一80,并非不定型它表明该反常积分发散。1eo00x机动目录上页下页返回结束
若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d →− f x x b b c lim ( )d →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现 − , 并非不定型 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散
若F(x)是f(x)的原函数，引入记号F(+oo)= lim F(x); F(-oo)= lim F(x)x→+8x>-8则有类似牛一莱公式的计算表达式：+8f(x)dx= F(x)= F(+oo)- F(a)0abhf(x)dx = F(x)= F(b)-F(-00)18+8f(x)dx = F(x)= F(+8)- F(-8)8oleoolox机动目录上页下页返回结束
引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx + − = F(x) = F(+) − F(−) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dxC例1.计算反常积分1+x2dx+8+8解：[arctan x]/2&+x元元2+xdxX0对吗?思考：2001+x+8+o xdx分析：原积分发散！221+x-8注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质否则会出现错误10000x机动自录上页下页返回结束
例1. 计算反常积分 解: + − = [arctan x] ) 2 ( − − 2 = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y 2 1 1 x y + = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误
oodx当p>1 时收敛；p≤1例2.证明第一类p积分p时发散.证:当 p =1 时有+dx+8=+8x当p1时有+8p1pp-1q l-p因此，当p>1时，反常积分收敛，其值为p-1当 p≤1 时,反常积分发散10000x机动自录上页下页返回结束
例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 + = a ln x = + − + − = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1 − − p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . + , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
te-pt dt(p>0)例3.计算反常积分t+8+8e-pt解：原式=-二pt11dtX010pbJ1+8ept20p12polo0x机动目录上页下页返回结束
例3. 计算反常积分 解: pt e p t − 原式 = − + − + 0 d 1 e t p pt pt e p − = − 2 1 2 1 p = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无界函数的反常积分7与x轴,轴和直线x=1 所围成的引例:曲线y:开口曲边梯形的面积可记作1dx其含义可理解为1 dxA= limlim 2Vx-→0+ JeVx8→0+= lim 2(1- ~) = 28→0+1eo0x机动自录上页下页返回结束
二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 + → = 1 0 d lim x x A 1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0 = − → + = 2 x y 1 = 0 A x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义2. 设 f(x)EC(a,b],而在点 α的右邻域内无界P取ε>0,若极限limf(x)dx存在，则称此极限为函8-0+Ja+8数f(x)在[a，bl上的反常积分，记作(~f(x)dx = limf(x)dx0+Ja+8这时称反常积分f(x)dx 收敛；如果上述极限不存在h就称反常积分f(x)dx 发散类似地,若 f(x)EC[αa,b),而在 b 的左邻域内无界hb-8则定义f(x)dx = limf(x)dx80+Ja1e000x机动自录上页下页返回结束
定义2. 设 f (x)C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函