第三章第二节洛必达法则0型未定式08型未定式8三、 其他未定式eoo0x机动自录上页下页返回结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章
函数的性态川微分中值定理导数的性态本节研究：0f(x)8lim或二型)函数之商的极限0g(x)8转化洛必达法则f'(x)导数之商的极限limg'(x)格必达，G.F.-A.de0000洛必达目录上页下页返回结束
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
0型未定式0定理 1.1) lim f(x)= lim F(x)= 0x->ax>a2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)±0f(x)3) lim存在(或为80)x→a F'(x)f(x)'(x)limlim（洛必达法则）x-a F'(x)x-→>a F(x)leD0x机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理条件： 1) lim f(x)= lim F(x)=0x-ax->a2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)±03) lim (α)存在(或为0)x->a F'(x)证：无妨假设f(a)= F(a)=0,在指出的邻域内任取x≠α,则f(x),F(x)在以x,α为端点的区间上满足柯西定理条件，故f(x) _f(x)- f(a) -f()(在x,α之间F(x)F(x)-F(a)F'()f'(x)f'()f(x)3):limlimx-→>a F'(x)x→aF(x)x-→aF'()O0o0x机动目录上页下页返回结束
( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
f(x)f (x)limlim洛必达法则x=>a F'(x)x→a F(x)推论1.定理1中x→α换为x→a, x→a x→8,x→+0, x-0之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立0f'(x)推论 2. 若lim仍属型,且f'(x),F'(x)满足定0F'(x)理1条件，则f(x)(x)xlimim1nF(x)F'(x)F"(x)000X定理1目录上页下页返回结束
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
x3 -3x+20型例1. 求 lim03- x2 -x+1x-1 x3x2 -3解： 原式 = lim22-2x-1x→13x36xlim2x→16x-2注意：不是未定式不能用洛必达法则！66xlimlim=1x-16x - 2x→16O0000X机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
元0- arctan x2.型例2. 求 lim01x→+0x121+ x解:原式 = lim18x+80型f8.2x1limlim21+1x→+00 1+xx→+8元-arctan n2n为正整数)？思考：如何求 lim1n>00no0o01机动自录上页下页返回结束
例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − → ( n 为正整数) ? 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习题求下列极限：x-xcosx1. limx-0x-sinxetx-e-x-2x2. limx-0x-sinx
练习题 0 cos 1. lim x sin x x x → x x − − 求下列极限: 0 2 2. lim sin x x x e e x x x − → − − −
8二、型未定式8定理2.1) lim f(x) = lim F(x)= 80x>ax→a2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)0f(x)3) lim存在 (或为∞)x-→a F'(x) = lim ()lim f(α).(洛必达法则）x→>a F(x)x-→>a F'(x)f(x)证：仅就极限lim存在的情形加以证明x→a F(x)O0000x机动自录上页下页返回结束
二、 型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
0f(x)型≠0的情形1) lim0x-→a F(x)1F'(x)F2(x)f(x)F(x)limlimlim1x-→>a F(x)-1x→ax->af'(x)f(x)f2(x)[() ()F(x)= limlimx-a f(x)2x>af(x)F'(x)lim1= limx-→>a F(x)x→a f'(x)f(x)f'(x)lim lim从而x→aF(x)x-→>a F'(x)O0000X机动自录上页下页返回结束
1) 0 ( ) ( ) lim → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x − ( ) ( ) 1 2 f x f x − = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 从而 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束