第五章第二节几种常见的一阶微分方程可分离变量方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程Oe00X机动目录上页下页返回结束
几种常见的一阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、可分离变量方程 第五章 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
一、可分离变量方程dy形如： fi(x) f2(y)dxMi(x)M2(y)dx + Ni(x) N2(y)dy= 0转化解分离变量方程 g(y)dy= f(x)dx
转化 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 一、可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2 形如:
分离变量方程的解法g(y)dy= f(x)dx设y=β(x)是方程①的解，则有恒等式g(p(x)p'(x)dx = f(x)dxg(y)dy= [ f(x)dx两边积分，得F(x)G(y)则有G(y) = F(x)+C当G(y) 与F(x) 可微且 G(y)=g(y)O 时，上述过程可逆说明由②确定的隐函数y=dx)是①的解.同样,当F(x)=f(x)O 时，由②确定的隐函数 x= y(y) 也是①的解称②为方程①的隐式通解，或通积分Oeo0x机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
d=3x2的通解例1.求微分方程dxdy= 3x? dx说明：在求解过程中解：分离变量得y每一步不一定是同解变形，因此可能增、两边积分= [3x2dx减解或得In||= x3 +Ciy=±e+3+G即十In|y|= x3 +ln|CC1te3（C为任意常数）V（此式含分离变量时丢失的解=0）Oe00x机动自录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx +(x2 +1)dy = 0例2.解初值问题y(0) = 1dyx解：分离变量得dxy1+ x1+ In| C两边积分得 ln=ln2Vx~+1即x2+1=C（C为任意常数）由初始条件得C=1，故所求特解为J/x2? +1 =1Oe000x机动目录上页下页返回结束
例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3．求下述微分方程的通解y'= sin(x-y+l)解：令u= x-y+1,则u'=l-y'1-u'= sin? u故有sec? u du = dx即tanu= x + C解得tan(x-y+l)=x+C（C为任意常数）所求通解：O0000x机动自录上页下页返回结束
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 u = x − y +1, 则 故有 u u 2 1− = sin 即 解得 tanu = x +C 所求通解 tan(x − y +1) = x +C ( C 为任意常数 ) : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dyex+y的通解练习：求方程dx解法1分离变量e-ydy=e"dx-e-y=ex +C即(e*+C)e'+1=0 (C<0)解法2令u=x+y,则u=l+yu'=l+eu故有r(l+e")-eudu积分du=x+C1+e"1 +e"u-ln(l+eu)= x+C所求通解：ln(1+ex+y）=-C（C为任意常数）oo0x机动目录上页下页返回结束
练习: 解法 1 分离变量 e e C y x − = + − 即 ( + ) +1 = 0 x y e C e ( C < 0 ) 解法 2 令u = x + y, 故有 u u =1+ e 积分 u e x C u − ln (1+ ) = + 所求通解: e y C ( C 为任意常数 ) x y + = − + ln (1 ) u e e e u u u d 1 (1 ) + + − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M成正比，已知t=0 时铀的含量为 Mo,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律dM=-aM(a>0)dt解：根据题意，有(初始条件)M|t=0 = ModM((-a)dt对方程分离变量，然后积分：M M得lnM=- t+lnC, 即 M=Ce-atM利用初始条件,得 C= M故所求铀的变化规律为 M=Moe-at0tOe000x机动目录上页下页返回结束
例4. 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 ( 0) d d = − M t M M t=0 = M0 (初始条件) 对方程分离变量, 得 ln M = − t + lnC, 即 t M Ce − = 利用初始条件, 得 C = M0 故所求铀的变化规律为 . 0 t M M e − = M M0 t o 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系dy解：根据牛顿第二定律列方程mg - kvm二dt初始条件为 t=0 =0dydt对方程分离变量，然后积分：mg - kvmln(mg-kv)==+C得(此处 mg-kv>0)kmt足够大时利用初始条件,得 C =-{ln(mg)mgkTVkmg代入上式后化简，得特解EVkoeo00x机动目录上页下页返回结束
例5. 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 初始条件为 v t=0 = 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得 (此处 mg − kv 0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C = − 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 ) t m k e k m g v − = − mg − kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、齐次方程dy形如p()的方程叫做齐次方程dxxdudy解法：令u=,则yV=uxu+xdxdxxdup(u)代入原方程得u+xdxdudx分离变量：p(u)-uxdu两边积分，得p(u) -ux二代替u，便得原方程的通解积分后再用xO0000?机动目录上页下页返回结束
二、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束