第五章第三节高阶微分方程(3)：常系数齐次方程基本思路求解常系数线性齐次微分方程转化求特征方程(代数方程)之根eo0o机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 高阶微分方程(3): 常系数齐次方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第五章
二阶常系数齐次线性微分方程①y"+py'+qy=0(p,g为常数)因为r为常数时,函数erx和它的导数只差常数因子所以令①的解为y=erx（r 为待定常数）,代入①得(r2 + pr+q)erx =0r2 + pr+q=02其根称为特征根称②为微分方程①的特征方程1. 当 p2-4q>0 时,②有两个相异实根 , r2,则微分方程有两个线性无关的特解：=eix，2=e'2*y=Cie'ix+C2e'2x因此方程的通解为o0000x机动自录上页下页返回结束
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.当p2-4g=0时,特征方程有两个相等实根i=r2=号，则微分方程有一个特解=e'.P设另—特解 2= yiu(x) =e'i*u(x)(u (x)待定)代入方程得e"*[(u"+2ru'+r?u)+ p(u'+ru)+qu ]= 0u"+(2r +p)u'+(r' +pr +q)u=0注意r是特征方程的重根u"=0取u=x，则得y2=xe"x,因此原方程的通解为y=(Ci +C2x)e'ixO0000?机动目录上页下页返回结束
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.当p2-4g<0时,特征方程有一对共轭复根=α+iβ, =α-iβ这时原方程有两个复数解i=e(α+iB)x =ea*(cos βx+isin βx)y2 =e(α-iB)x=ea*(cos βx-isin βx)利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解ji =(yi + y2) = eα* cos βxJ2 = (1 - 2)=ea* sin βx因此原方程的通解为y= eαx(Ci cos βx +C2 sin β x)oe000x机动目录上页下页返回结束
3. 当 4 0 2 p − q 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 + = e (cos x i sin x ) x = + i x y e ( ) 2 − = e (cos x i sin x ) x = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x = cos e x x = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结："+py'+q=0(p,q为常数)特征方程：r2+pr+=0，特征根：n,r2通解特征根r2xrix≠r2实根C2e'y=Cey=(Ci +C2x)e'ixi=n=-号y= eαx(Ci cos βx +C2 sin βx)ri.2=α±iβ以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程：o0000?机动自录上页下页返回结束
小结: y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广： (n 阶常系数齐次线性微分方程)J(n) +a (n-1) +..+an-1J'+any=0 (a均为常数)rn +aj rn-l +...+an-ir+an =O特征方程：若特征方程含k重实根r，则其通解中必含对应项(Ci +C2x+.+Ct+k-1rx)or:若特征方程含k重复根r=α土iβ,则其通解中必含对应项eα*[(Ci +C2x+.+Cr xk-1 ))cosβx++(D + D2x+.+ Dkxk-1)sin βx)（以上Ci,D,均为任意常数）O0000x机动自录上页下页返回结束
若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 0 ( ) 1 ( 1) 1 y (n) + a y n− ++ an− y + an y = ak 均为常数 特征方程: 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n r a r a r a 推广: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (n 阶常系数齐次线性微分方程)
例1.求方程"-2y'-3y=0的通解解：特征方程 r2-2r-3=0,特征根：=-1,=3，3x因此原方程的通解为 y=Cie-×+C2eFd?sdsO：0+s二dt2dt例2.求解初值问题ds4[t =0 =-2Sdt1解：特征方程r2+2r+1=0有重根=2=-1, S=(Ci+C2t)e-t因此原方程的通解为利用初始条件得Ci = 4, C2 = 2于是所求初值问题的解为 s=(4+2t)e-to00l00x机动目录上页下页返回结束
例1. 求方程 y − 2 y −3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1, 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t=0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1, r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 C2 = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上在无外力作用下做自由运动，取其平衡位置为原点建立坐标系如图，设t=0时物体的位置为 x=xo,初始速度为vo,求物体的运动规律x=x(t),解：由高阶微分方程(2)例1知,位移满足自由振动方程，因此定解问题为0山dxd-x2fix2n++kx=0d2dtdxxt=0 = xoVt=0dtO0000x机动目录上页下页返回结束
例3. x x o 解: 由高阶微分方程(2)例1 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 0 0 d d v t x x t =0 = x0 , t = = + 2 2 d d t x 0 2 + k x = t x n d d 2 自由振动方程 , 因此定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1）无阻尼自由振动情况(n=0)d?x方程：+k?x= 0df?r2+k2=0,特征根：ri,2=±ik特征方程：方程通解：x=C coskt+C2 sinktVoA利用初始条件得：Ci=xo，C2=X0k0故所求特解VokX = Xo cos kt + yo.Osinktk2= Asin(kt+Φ)voO0000?机动目录上页下页返回结束
方程: +2 2 d d t x 0 2 k x = 特征方程: 0, 2 2 r + k = r = i k 特征根: 1, 2 x C cos k t C sin k t = 1 + 2 利用初始条件得: , 1 0 C = x 故所求特解: k t k v x x cos k t sin 0 = 0 + A 0 x k v0 方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) k v C 0 2 = ( ) 0 0 2 2 2 0 0 , tan v kx k v A = x + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解的特征：x = Asin(kt+@)简谐振动2元A:振幅,@:初相,周期：Tkck=(仅由系统特性确定)固有频率mdx(下图中假设 xt=0= XoVo >0-t=0diixAxo0AO0000?机动自录上页下页返回结束
解的特征: 简谐振动 A: 振幅, : 初相, 周期: 固有频率 0) d d =0 = v0 t x t ( 0, 下图中假设 x t =0 = x0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)