《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第10章 曲线积分和曲面积分 Ch 10-6 高斯公式和斯托克斯公式

第十章第六节Gauss公式和Stokes公式推广Gauss 公式Green 公式一Stokes 公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、Stokes公式O0000x机动目录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 推广 Gauss 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、Stokes公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Gauss公式和Stokes公式 第十章 Stokes 公式

一、高斯（Gauss）公式定理1.设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Z所围成,Z的方向取外侧，函数P,O,R在2上有连续的一阶偏导数，则有ORap00dxdydzOyOzOX, Pd ydz+Qdzdx+ Rdxd y（Gauss公式）下面先证：aR1a02Rdxdydxdydz=H1Oe000X高斯目录上页下页返回结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  = Pd y d z + Qd z d x + Rdxd y x y z z R d d d     = Rd xd y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设Q:zi(x,y)≤z(x,y)≤z2(x,y), (x,y)e Dxy为XY型区域,Z=Z, UZ2UZ3,Zi : z= z1(x,y)Z2 : z = z2(x, y),则ztN2aRz2(x,y)oR102Rdxdydz=(, dxdydzZ3zi(x,y) OzZ1(ID (R(x,y, z2(x,y))X1yD- R(x, y, zi(x, y)) fd xd yXuX, Rdxd y =(J,+ Jz+ J,)Rd xd yR(x, y, z2(x, y)dxdy- (, R(x, y, zi(x, y)d xdyX1O0000x定理1目录上页下页返回结束

2 3 1  z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd xd y  = Dxy (  = 2 x y z z R d d d    d xd y  + 1  + 3 )Rd xd y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dxy  = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

aRSI.dxdydz=, Rdxdy所以20z若Q不是XY-型区域，则可引进辅助面将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立apdxd ydz =f_ Pdydz类似可证QaxQJloaydxdydz= ,Qdzdx三式相加，即得所证Gauss 公式：aRapaQd x d ydzmayOzax= f, Pd yd z+Qdzdx+ RdxdyO0000?定理1目录上页下页返回结束

所以 x y z z R d d d     = Rd xd y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

高斯公式的另一种形式aRap00dxdydzooxOzOy$,(Pcos α+Qcos β+ Rcos r)ds其中 cosα,cosβ,cos为闭曲面Z的外法线方向余弦特例: 令 P(x,y,z)= x,Q(x,y,z)= y, R(x,y,z)=z由Gauss公式,则几何体Q的体积为：V=ff, xd ydz+ydzdx+zdxd y4Oe000x定理1目录上页下页返回结束

高斯公式的另一种形式: cos ,cos ,cos    P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) = = = ( cos cos cos ) P Q R dS     = + +  1 d d d d d d 3 V x y z y z x z x y  = + +  特例: 令 由Gauss公式,则几何体Ω的体积为: 其中 为闭曲面Σ的外法线方向余弦. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

和平面z=O所z= Vα2-x2-2 例1.设为半球面围曲面的外侧，计算曲面积分I = [ xz?dydz +(x* y-23)dzdx +(2xy + y2)dxdyapaRaQ解：OxayOz由高斯公式得球面坐I=(x2 + y? + z?)dxdydz标变换2元2de·r? sin pdrdJo002元aO0000x5定理1目录上页下页返回结束

定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设Σ为半球面 2 2 2 z a x y = − − 2 2 3 2 I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ( ) (2 )  = + − + +  2 2 2 , , P Q R z x y x y z    = = =    2 2 2 I x y z dxdydz ( )  = + +  2 2 2 2 0 0 0 sin a d d r r dr   =        2 5 5 = a 围曲面的外侧, 计算曲面积分 解: 和平面 z = 0 所 由高斯公式得 球面坐 标变换

例2.用Gauss公式计算(x-y)dxdy+(y-z)xdydz其中为柱面x2+2=1及平面z=0,z=3所围空间闭域2的整个边界曲面的外侧解: 这里 P=(y-z)x,Q=0, R= x-y利用Gauss 公式,得JJ(y-2)dxd ydz (用柱坐标),原式 =1JJg(rsing-2)rdrdodzx9元2元derd(rsin0-z)dz20思考：若改为内侧，结果有何变化？若乙为圆柱侧面(取外侧），如何计算？O0000x机动目录上页下页返回结束

例2. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d xd y d z  = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0    =   −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.利用Gauss公式计算积分(l(x? cosα+y? cos β+ z? cosy)ds一Eih其中为锥面x2+2=2介于z=0及Zz = h 之间部分的下侧y解：作辅助面Xx:x2+2≤h2,取上侧Zj:z=h, (x,y)eD1在上α=β=,=0记Z,Z,所围区域为2，则I=(F+z- J/)x cosα+y2 cos β+22 cos)ds=2JJ,(x+y+z)dxdydz-JJD h2 dxdyOe000x机动目录上页下页返回结束

例3. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y 解: 作辅助面 x : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y  Dxy x + y  h 取上侧 + = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2  +  +  , 0 1 2   =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d xd y d z h x y Dx y d d 2  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

I=2JJJ。(x+y+z)dxdydz -JJ, h? dxdy1.x利用重心公式，注意x=V=02000zdxd ydz -π h42ZihQh2 dz - 元 h4Z·元Zy01Th42注：当积分曲面Z非闭时，不能直接利用Gauss公式此时应添加简单曲面，使之构成封闭曲面，从而所求第二类曲面积分转化为闭曲面所围立体上的三重积与所添加简单曲面上的二类积分之差Oe000X机动目录上页下页返回结束

 I = 2 (x + y + z)d xdydz 利用重心公式, 注意 x = y = 0  = 2 z d xd ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h  h o z y x 1 h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 当积分曲面Σ非闭时, 不能直接利用Gauss公式, 此时应添加简单曲面, 使之构成封闭曲面, 从而所求 第二类曲面积分转化为闭曲面所围立体上的三重积 与所添加简单曲面上的二类积分之差

例4. 设为曲面z=2x2-2,1≤z≤2取上侧,求I = J,(xz+x)d ydz -x2yzdzdx-x22? dxd y.7解：作取下侧的辅助面Zi : z =1(x,y)e Dx, :x? +y? ≤1Z1= -[用极坐标用柱坐标21Z+ZZ10dxd ydz-(-1) (f,(-x)dxd yXJQ2元r3 dr[ ?"cos?@do]drdo013元12O0000X机动目录上页下页返回结束

例4. ( )d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 1 : z =1 ( , ) : 1 2 2 x y  Dxy x + y  I =   +  − 1 1  = d xd ydz ( x )d xd y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d  1 0 d r  −    2 0 2 cos d 12 13 = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束