第七章第二节空间平面和直线一、空间的平面方程二、空间的直线方程Oe00X机动目录上页下页返回结束
第二节 一、空间的平面方程 二、空间的直线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间平面和直线 第七章
一、空间的平面方程1、平面的点法式方程设一平面通过已知点 M。(xo,yozo)且垂直于非零向量n=（A,B,C),求该平面II的方程Znt任取点 M(x,y,z)II,则有M11MoMoM Iny故M.M.n=0MoM =(x-xo,y-yo,z-zo)A(x- xo)+ B(y- yo)+C(z -zo) = 0称①式为平面Ⅱ的点法式方程称n为平面Ⅱ的法向量Oe000?机动自录上页下页返回结束
z y x o M0 n ① 一、空间的平面方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、平面的点法式方程
例1.求过三点 M;(2,-1,4), M2(-1,3,-2),M3(0,2,3)的平面IⅡI的方程n解：取该平面ⅡI的法向量为n= MM,×MMM3Mijk-6-343-2-1=(14,9, -1)又 M, EII,利用点法式得平面 IⅡI 的方程14(x - 2) +9(y +1) - (z - 4) = 0即14x +9y- z-15= 0O0000x机动自录上页下页返回结束
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：此平面的三点式方程也可写成x-2 y+l z-44-3-6=03-2-1一般情况：过三点 Mk(xk,Jk,zk) (k=1,2,3)的平面方程为x-Xiz - Z1y-yi= 0平面的三X2 -XiY2 -y1Z2 - Z1点式方程X3 -XiY3 -Y1Z3 - Z1oe000x机动自录上页下页返回结束
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面的三 点式方程
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为ZRP(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时，平面方程为Oigyx++==1 (a,b,c±0)baC此式称为平面的截距式方程分析:利用三点式x-aZy0b=0-a0-ac(x -a)bc- y(-a)c+ zab =0按第一行展开得即bcx + acy +abz = abcOe00x机动自录上页下页返回结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c 0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、平面的一般方程设有三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A?+B2+C2 ±0)2任取一组满足上述方程的数xo,yo,zo，则Axo + Byo +Czo +D= 0以上两式相减，得平面的点法式方程A(x -xo)+ B(y-yo)+C(z -zo)= 0显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是，此方程称为平面的一般法向量为 n=(A,B,C)的平面,方程oeo00x机动目录上页下页返回结束
2、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ax+ By+Cz+D=0 (A2 +B2 +C2 ±0)特殊情形·当D=O时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面·当A=O时,By+Cz+D=O的法向量n=(O,B,C)工i,平面平行于 x轴·Ax+Cz+D=O表示平行于y轴的平面·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面·Cz+D=0表示平行于xoy面的平面·Ax + D =O 表示平行于 yoz 面的平面 ;·By+D=O表示平行于zox面的平面O0000机动目录上页下页返回结束
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求通过x轴和点（4,一3,一1)的平面方程解：因平面通过x轴，故 A=D=0设所求平面方程为By+Cz =0代入已知点(4,-3,1)得C=-3B化简,得所求平面方程y-3z=0例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、两平面的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角设平面的法向量为 n=(A,Bi,C)n,,n,10平面II的法向量为 n2 =(A2,B2,C2)12则两平面夹角0的余弦为ni·n2cosA=Ii01niln2即A A2 + B,B2 +CiC2cosA=A? + B? +C? A2? +B,? +C2?o00l00x机动自录上页下页返回结束
3、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2 n2 n1 ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n n = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
II, : ni =(A, Bi, C)ni.n2cos=mIn2II2 : n2 =(A2, B2, C2)n2特别有下列结论：Ⅱ() ,>2WD> A A2 + Bi B2 +Ci C2 = 0ni // n2(2) II, // II2 <Vn.BiC1AniB2C2A2112II.oe000x机动自录上页下页返回结束
2 特别有下列结论： 1 2 (1) ⊥ A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0 1 2 (2) // 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C = = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n n = n1 ⊥ n2 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 机动 目录 上页 下页 返回 结束