第八章第四节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线O0000x复习目录上页下页返回结束
第四节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章
复习：平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线 y= f(x)在点(xo,yo)有切线方程y- yo = f'(xo)(x -xo)1法线方程y-yo=f'(xo)dyF'(x,y)若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0,因dxF(x,y)故在点(xo,o)有Fl(xo, yo)(x - xo) +F)(xo, yo)(y - yo)= 0切线方程法线方程F)(xo, yo)(x - xo) -F(xo, y)(y - yo)= 00000机动自录上页下页返回结束
复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ( , ) 0 0 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 d ( , ) d ( , ) x y y F x y x F x y = − 故在点 切线方程 法线方程 ( ) 0 y − y 0 0 ( , ) F x y y + 0 0 0 ( , ) ( ) F x y x x x − = 0 ( )( ) 0 0 = f x x − x ( ) ( ) 1 0 0 x x f x − = − 在点 有 有 因 0 0 0 ( , ) ( ) 0 F x y y y x − − = 0 0 ( , ) F x y y ( ) 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的切线与法平面空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面T儿rM点击图中任意点动画开始或暂停oeo0x机动目录上页下页返回结束
一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. T M 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停
T1.曲线方程为参数方程的情况TI: x=p(t), y=y(t), z=o(t)MM'设 t = to 对应M(xo,yo,zo)t = to + △t 对应 M(xo +△x, yo + Ay,zo +△z)割线MM'的方程：x-XoZZo-y-yo△xzAy上述方程之分母同除以△t，令△t→0,得x-Xo- -yo - z-Zo切线方程p'(to)y'(to)'(to)O0000x机动自录上页下页返回结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( , , ) 0 0 0 0 设 t = t 对应M x y z ( , , ) 0 0 0 0 t = t + t 对应M x + x y + y z + z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t 机动 目录 上页 下页 返回 结束T M 割线 MM的方程:
T此处要求βp'(to),yr'(to),の'(to)不全为0,元T如个别为0.则理解为分子为0M切线的方向向量：r(t)T=(p'(to), y'(to), 0'(to))0称为曲线的切向量：T也是法平面的法向量，因此得法平面方程p'(to)(x - xo) + yr'(to)(y - yo)+'(to)(z - zo) = 0说明:若引进向量函数 r(t)=(p(t),(t),の(t)),则 I为 r()的矢端曲线,而在 to 处的导向量r(to)=(p'(to), y'(to), 0'(to))就是该点的切向量OeoD0X机动目录上页下页返回结束
( )( ) 0 0 t x − x 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . ( )( ) 0 0 + t y − y +(t0 )(z − z0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 不全为0, ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T = t t t 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 r(t) = ((t), (t), (t)) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0 而在 t 处的导向量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = t t t 就是该点的切向量. o r(t) T
例1.求圆柱螺旋线x=Rcos,y=Rsin,z=kp在对应点处的切线方程和法平面方程β=解：由于x=-Rsin,'=Rcos,z'=k,当β=时,对应的切向量为 T=(-R,O,k),故Mo(0, R, k)2-号hy-Rx切线方程0k-Rkx+Rz-Rk=0即J-R=0法平面方程 －Rx+k(z-k)=0Rx-kz+k2=0即Oe000X机动目录上页下页返回结束
z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k = 即 − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk 即 解: 由于 0 y − R k z k 2 − = (0, , ) 0 2 M R k 对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k = 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (−R, 0, k) , 故
2.曲线为一般式的情况[F(x,y,z)= 0光滑曲线：G(x, y,z) = 0=Φ(x)当J=(F,G)且有0时.I可表示为z=y(x)o (y,z)dz1 a(F,G)dy _ 1 a(F,G)XdxJ a(x,y)dx J ?(z,x)Z曲线上一点 M(xo,yo,zo)处的切向量为T= (1, p'(xo), y'(xo))10(F,G)1 a(F,G)(z,x)(x,y)LMMOe000x机动目录上页下页返回结束
2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 当 0 ( , ) ( , ) = y z F G J = x y d d 曲线上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z , 且有 = x z d d , ( , ) 1 ( , ) z x F G J , ( , ) 1 ( , ) x y F G J 时, 可表示为 处的切向量为 = M x y M F G z x J F G J ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = 1,(x0 ),(x0 )
α(F,G)a(F,G)a(F,G)或_a(y,z) |M' (z,x) |m " (x,y) |M则在点 M(xo,yo,zo)有x-Xoy-yoZZ0切线方程a(F,G)a(F,G)a(F,G)a(z, x)a(x, y) / Ma(y, z)MM(F,G)a(F,G)(x - xo)法平面方程(y- yo):a(y, z)a(z, x)MMa(F,G)(z - Zo) = 0a(x, y)MOe000?机动目录上页下页返回结束
0 0 0 x x y y z − z = − = − y z M F G ( , ) ( , ) 则在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 切线方程 法平面方程 有 y z M F G ( , ) ( , ) z x M F G ( , ) ( , ) x y M F G ( , ) ( , ) ( ) 0 x − x x y M F G ( , ) ( , ) + z x M F G ( , ) ( , ) + ( ) 0 y − y (z − z0 ) = 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = M M x y M F G z x F G y z F G T ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
法平面方程a(F,G)a(F,G)VoMMa(z, x)(y, z)(F,G)(z- Zo)= 0Ma(x, y)也可表为x-XoZ-Zoy-yo=0F'(M)F'(M)F'(M)G(M)G'(M)G,(M)oe000x机动自录上页下页返回结束
0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z F M F M F M G M G M G M − − − = 也可表为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 y y z x M F G x x y z M F G − − + 法平面方程 ( ) 0 ( , ) ( , ) − 0 = + z z x y M F G 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求曲线x2+y2+z2=6,++z=0在点M（1,-2,1）处的切线方程与法平面方程解法1 令F=×2+2+z2,G=×++z,则2y 2z(F,G)= 2(y-z)=-6;o(y,z)1M1MM(F,G)(F,G)x= 0;= 6o(x,y) o(z,x)MMTV.Z切向量T=(-6, 0, 6)x+z-2=0z-1y+2x-1切线方程即y+2=00-66O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 求曲线 6, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. y z M F G ( , ) ( , ) 切线方程 解法1 令 则 即 + = + − = 2 0 2 0 y x z 切向量 M y z 1 1 2 2 = M = 2( y − z) = −6; x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (− 6, 0, 6)