第九章习题课及应用重积分的计算重积分计算的基本方法一、二、 重重积分计算的基本技巧三、 重积分的应用Oe000X机动目录上页下页返回结束
习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用
一、重积分计算的基本方法累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成被积函数用此坐标表示简洁或变量分离2.选择易计算的积分序积分域分块要少，累次积分易算为妙3.掌握确定积分限的方法图示法(从内到外：面、线、点)列不等式法Oe0D0X机动自录上页下页返回结束
一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
II, /R?-x?- y? do,例1.计算二重积分其中D为圆周x2+2=Rx所围成的闭区域提示：利用极坐标yr = Rcos00≤r≤Rcos6D:元220Rx2RcoseR?-r?drdo原式元022PSsin3 )de34R元33O0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 r = Rcos 原式 = − 2 0 3 3 (1 sin )d 3 2 R y D R x o D : 0 r Rcos 2 2 − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x,y,z)dxdydz 化为三次积分例2.把积分z=x+,=2及平面 =l,z=0其中2由曲面所围成的闭区域。提示：积分域为0≤z≤x+yQ:3 x≤y≤1-1≤x≤1x?+y2[dx [dy { f(x,y,z)dz原式0xO0000x机动自录上页下页返回结束
例2. 把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为 : 原式 + 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z 及平面 1 2 d x y − = 1 1 dx 所围成的闭区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
JJ。z2dxdydz，其中Q是两个球例3.计算积分0×?+y? +2?≤R2 及×?+y? + 2?O)的公共部分2提示：由于被积函数缺x，，0y利用“先二后一”计算方便。xR(72 22 dz /dxddxdj原式=N0RRπ(R2 -z2)d2(2Rz - z1.059TRS480Oe000x机动目录上页下页返回结束
D1z D 2 z 例3.计算积分 其中是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = D z x y 1 d d z Rz z z R (2 )d 2 0 2 2 = − 利用“先二后一” 计算方便 . z z R d 2 0 2 D z x y 2 z z d d R R d 2 2 + z R z z R R ( )d 2 2 2 2 + − 5 480 59 = R R z y x o 2 R 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(y2+z2)dv,其中Q是由例4.计算三重积分xoy平面上曲线y2=2x绕 x轴旋转而成的曲面与平面x =5 所围成的闭区域Zx=xy=rcosa提示：利用柱坐标z=rsinoy51r?≤x≤5x2:3 0≤r≤100≤0≤2元102502元原式dxde元3002O0000X机动自录上页下页返回结束
例4. 计算三重积分 其中是由 xoy平面上曲线 x = 5 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 sin cos z r y r x x = = = 原式 5 2 2 d r x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 r x 0 r 10 0 2 r dr 10 0 3 = 2 0 d 3 250 = : z x y o 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[,(x+y)do,其中D 由y2=2x,补充题．计算积分11x+y=4,x+y=12所围成127=2x412提示:如图所示 D = D2\D10Df(x,y)= x+y在Dz内有定义且xD.4连续，所以-6[J,(x+ y)do= JD,(x+ y)do-JJD(x+y)do(x+y)dx -x -y)dx.221154315O0000x机动自录上页下页返回结束
补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 y 2x 2 = 4 2 − 4 − 6 o y x \ , D = D2 D1 f (x, y) = x + y在D2内有定义且 + = D (x y)d + 2 ( )d D x y − + 1 ( )d D x y 连续, 所以 − + y y x y x 12 2 2 ( )d − = 4 6 dy − + y y x y x 4 2 2 ( )d − − 2 4 dy 15 11 == 543 D1 D2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P157题13：假设f(x)在区间[0,1]上连续，并且f" f(x)dx= A, 求: J,dxJ"f(x)f(y)dy解: 令 F(x)=[~ f(t)dt, 则I" dx f" f(x)f(y)dy = I" f(x)dx " f(v)dy。 f(x)[F(1)- F(x)]dx = F()]" f(x)dx- f" f(x)F(x)dxLA2F?(1)= F(1)[F(1)- F(O)]Cr=22说明：利用该方法，P171页第9题同样可证
P157 题13: 假设 f (x) 在区间[0,1]上连续, 并且 1 0 f x dx A ( ) , = 1 1 0 ( ) ( ) . x dx f x f y dy 0 ( ) ( ) , x F x f t dt = 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x x dx f x f y dy f x dx f y dy = 1 1 1 0 0 0 = − = − f x F F x dx F f x dx f x F x dx ( )[ (1) ( )] (1) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 1 1 (1)[ (1) (0)] ( ) (1) 2 2 2 = − − = = F F F F x F A 求: 解: 令 则 说明: 利用该方法, P171页第9题同样可证
二、 重积分计算的基本技巧1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算分块积分法3.消去被积函数绝对值符号利用对称性4.利用重积分换元公式O0000X机动目录上页下页返回结束
二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 4. 利用重积分换元公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明：x)dx(x)dx1提示：左端积分区域如图aLy=x交换积分顺序即可证得0xzln(x-+y+1JI例2. 求dv,其中2是2O2+1+vX+Z2+2+22=1所围成的闭区域由球面提示：被积函数在对称域2上关于z为奇函数，利用对称性可知原式为0Oe000x机动目录上页下页返回结束
− − = − a m a x y m a x a y e f x x a x e f x x 0 ( ) 0 ( ) 0 d ( )d ( ) ( )d 证明: 提示: 左端积分区域如图, D o y x y = x a 交换积分顺序即可证得. 例1. 例2. d , 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 v x y z z x y z + + + + + + 求 其中是 1 2 2 2 x + y + z = 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面