第七章第三节空间的曲面和曲线一、空间曲面二、空间曲线三、二次曲面O0000x机动目录上页下页返回结束
第三节 一、空间曲面 二、空间曲线 三、二次曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间的曲面和曲线 第七章
一、空间曲面引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程解:设轨迹上的动点为 M(x,y,z),则AM=BM|,即V(x-1)? +(y-2)2 +(z -3)?= /(x - 2)2 +(y+1)2 +(z - 4)2化简得2x-6y+2z-7=0说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面显然在此平面上的点的坐标都满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程O0000X机动目录上页下页返回结束
一、空间曲面 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.如果曲面S与方程F(x,J,z）=0有下述关系(1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程：(2)不在曲面 S上的点的坐标不满足此方程则F（xz）=O叫做曲面S的方程F(x, y,z) = 0曲面S叫做方程F(x,z）=O的图形一S两个基本问题：y0(1）已知一曲面作为点的几何轨迹时x求曲面方程(2）已知方程时，研究它所表示的几何形状（必要时需作图）O0000?机动自录上页下页返回结束
定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求动点到定点 Mo(xo,yo,zo）距离为 R的轨迹方程解：设轨迹上动点为 M(x,y,z),依题意M.M=R即V(x- xo)2 +(y- yo)? +(z - zo)2 = R故所求方程为(x -xo) +(y- o)2 +(z-zo)2 = R2Z特别,当M.在原点时,球面方程为Mox? + y? + 2? = R?1z=±/R2x2-y2表示上(下)球面0yXO0000x机动目录上页下页返回结束
故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程x2+y2+22-2x+ 4y=0 表示怎样的曲面。(x -1)2 +(y+2)2 + z2 = 5解：配方得此方程表示球心为 Mo(1,-2, 0),半径为~5的球面说明：如下形式的三元二次方程（A≠0）A(x? +y? + z?)+ Dx+Ey+ Fz+G= 02都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹Oe0D0X机动目录上页下页返回结束
例2. 研究方程 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、旋转曲面定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转面的轴线，平面曲线称为旋转面的母线例如：O0000x机动目录上页下页返回结束
定义2. 一条平面曲线 2、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 面的轴线,平面曲线称为旋转面的母线. 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程给定 yoz 面上曲线 C：f(y,z)=0Z若点 Mi(O,J1,z)EC,则有f(y1,z1) = 0cM,(0, y1,z1)当绕z轴旋转时，该点转到M(x/y,2)M(x,y,z),则有0yx? + y? =[yiz = Z1x故旋转曲面方程为f(±/x2 +y2,z)=0Oe000X机动目录上页下页返回结束
建立yoz 面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, f (y1 ,z1 ) = 0 (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z = z , x + y = y 则有 ( , ) 0 2 2 f x + y z = 则有 该点转到 f (y,z) = 0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？C: f(y,z)= 0ZVf(y, ±Vx2 +z2)=(oe000x机动自录上页下页返回结束
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f (y,z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y x + z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程解：在yoz面上直线L的方程为Lz=ycotαM(0,y,z)绕乙轴旋转时，圆锥面的方程头z=±x~+y~cotα令a=cotα两边平方x= α2(x2 + y2)注：顶点在原点的锥面方程为一个关于xy,z的齐次方程OeoD0X机动自录上页下页返回结束
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z = a x + y x y z 两边平方 L M (0, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注:顶点在原点的锥面方程为一个 关于x,y,z 的齐次方程
11分别绕x例4.求坐标面xOz上的双曲线0轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程解：绕x轴旋转所成曲面方程为x2y? +z2=122ca绕z轴旋转所成曲面方程为2x+22aC这两种曲面都叫做旋转双曲面Oe000X机动自录上页下页返回结束
x y 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束