第六章第五节函数展开成幂级数两类问题：在收敛域内8求和antn和函数 S(x)幂级数Z展开n=0本节内容：一、泰勒（Taylor）级数函数展开成幂级数二、 Eo0ol0l0x机动自录上页下页返回结束
第五节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章
一、泰勒（Taylor）级数在收敛域上，幂级数收敛于一个函数(和函数)，即在收敛域上可以用幂级数来表示一个函数；相反，给出一个函数,f(x)，它能否在某一个区间上展开为 x的幂级数？也就是说，当f(x)给定后，是否存在一个Za,(x-xo)" 以f(x)为和函数，即:幂级数n=0(☆)f(x)=a,(x-xo)"n=0两个问题：10什么条件下（☆）式成立2若（☆）式成立，系数ao，a1…,an.…..如何确定oe000x机动目录上页下页返回结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在收敛域上，幂级数收敛于一个函数(和函数), 即在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛域上可以用幂级数来表示一个函数；相反，给 出一个函数 f (x)，它能否在某一个区间上展开为 x 的幂级数？也就是说, 当 f (x)给定后, 是否存在一个 幂级数 以 f (x)为和函数，即： 0 0 ( ) ( )n n n f x a x x = = − （☆） 两个问题：1 0 什么条件下（☆）式成立 2 0 若（☆）式成立，系数a0 , a1 ,., an ,.如何确定
1：问题20的讨论若（☆）式成立，即f(x)可表示为幂级数，则在收敛区间内有 :(n+1)!(n+2)!f(n)(x) =n!a, +(x-x)?+L ;1!2!上式两端令 x=x，则有：az =f"(x)ao = f(x)aj = f'(x)an=f(n)(x)即:f(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo2!(xo+Lx-x)" +Ln!O0000x机动目录上页下页返回结束
1: 问题 2 0 的讨论 1 0 a f x = ( ) 1 2 0 2! a f x = ( ) ( ) 2 1 0 2 0 ( 1)! ( 2)! ( ) ! ( ) ( ) ; 1! 2! n n n n n n f x n a a x x a x x + + + + = + − + − +L 1 ( ) ! 0 ( ) n n n a f x = 即： 0 0 a f x = ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若（☆）式成立，即 f (x) 可表示为幂级数，则在收敛 区间内有： 上式两端令 x x = 0 , 则有： ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n + + − + L L f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − f (x) =
2：问题10的讨论若f(x)在xo点的某邻域（xS,x+)内有任意阶导数，那么(☆)式是否成立呢？x±0例如： f(x)=[0x=0f(n)(O)=O, VnENO0000x机动目录上页下页返回结束
2: 问题 1 0 的讨论 若 f (x) 在 x0 点的某邻域 ( , ) x x 0 0 − + 内有任意阶 2 1 0 ( ) 0 0 x e x f x x − = = ( ) (0) 0, n f n N = 导数, 那么(☆) 式是否成立呢？ 例如： 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Def：若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称Xf(xo) + f'(xo)(x -xo) +2!+L +.x-xo)n +Ln!为f(x)的泰勒级数。当 xo=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数3：什么条件下，一个任意阶可导函数可以表示成一个幂级数O0000?机动自录上页下页返回结束
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n + + − + L L 为 f (x) 的泰勒级数 . 当 x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 幂级数 Def : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3: 什么条件下，一个任意阶可导函数可以表示成一个
定理1．设函数f(x)在点x的某一邻域 U(xo)内具有各阶导数，则f(x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim Rn(x)=0n>证明：(x)=xo)n, xU(xo)n!n=0nZ令 Sn+1(x)=k!k=0f(x) = Sn+i(x)+ Rn(x)lim R,(x)= lim[f(x)- Sn+1(x)]= O, xEU(xo)n>0n>8O0000?机动目录上页下页返回结束
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成幂级数直接展开法一利用泰勒公式展开方法间接展开法一利用已知其级数展开式的函数展开1.直接展开法由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步骤如下：第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值；第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R：判别在收敛区间( -R, R)内 lim R,(x)是否为第三步n→80.Oe000x机动自录上页下页返回结束
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.将函数f(x)=e展开成x的幂级数)=exf(n)(O)=1 (n=0,1,.),故得级数解: : f(n)(x111n1 +x+Y3!2!n!1R= lim+8其收敛半径为n! / (n+1)!n->对任何有限数x，其余项满足In+1xn→>8en+1Rn(x)0(n+1)!(n +1)!(在0与x 之间)1故 e×=l+x+:, xE(-8,+8)2!3!n!o0000机动目录上页下页返回结束
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.将f(x)=sinx 展开成x的幂级数解: : f(n)(x)= sin(x+n·)0,n=2k(k=0,1,2,...)(-1)k， n=2k+12n-11x5 -...+(-1)n-1得级数：x一31(2n-1)!5其收敛半径为R=+0，对任何有限数x，其余项满足n+1sin(三 +(n +1))小n+1n8Rn(x)0X(n +1)!(n + 1)!32n11 sinx= x(2n-1)!3!5xE(-80,+8)O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
13S(-1)n-1ssin x = x +3!5!(2n -1)!xE(-00,+80)类似可推出：2n/cosx =1XX2!4!(2n)!xE(-8,+8)oe000x机动目录上页下页返回结束
= − + −+ − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 类似可推出: + − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束