第十章曲线积分与曲面积分曲面积分积分学曲线积分定积分二重积分三重积分曲线域曲面域积分域区间域空间域平面域对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分曲面积分对坐标的曲面积分
第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分
第十章第一节对孤狐长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法O0000x机动目录上页下页返回结束
第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.引例：曲线形构件的质量B假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为p(x,y,z)Mk(Ek,nk,Sk)△Sk为计算此构件的质量，采用Mk-1大化小，常代变，近似和，求极限nAZ p(5k, Ne,Sk)As k可得M = lim2-0k=1Oe000x机动目录上页下页返回结束
A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 = n k 1 M = 为计算此构件的质量, k s Mk−1 Mk ( , , ) k k k 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义设I是空间中一条有限长的光滑曲线，f(x,y,z)是定义在I上的一个有界函数,若通过对「的任意分割和对局部的任意取点，下列“乘积和式极限(Ek,Nk,Sk)n记作limZ f(Ek,nk,Sk)Askf(x, y,z)ds1-0k=1Mk都存在,则称此极限为函数f(x,J,z)在曲线△SkMk-1I上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分f(x,y,z)称为被积函数, 称为积分弧段.T曲线形构件的质量 M=(_p(x,y,z)dsO0000X机动自录上页下页返回结束
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, k k k k f ( , , )s 都存在, 上对弧长的曲线积分, = 记作 f (x, y,z)ds 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M = (x, y,z)ds = n k 1 0 lim → k s Mk−1 Mk ( , , ) k k k 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果L是xoy面上的曲线弧则定义对弧长的曲线积分为nZf(Sk,nk)Ask f(x,y)ds = lim1-0k=1如果L是闭曲线，则记为, f(x, y)ds.思考:(1)若在L上f(x,y)=l，问（ds表示什么？Oe000x机动目录上页下页返回结束
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s
3.性质(1) ([f(x,y,z)±g(x,y,z)]ds= J.f(x,y,z)ds ±Jrg(x, y,2)ds(k为常数)(2)[μ k f(x, y,z)ds = k [ f(x,y,z)ds(3) (rf(x,y,z)ds =J( f(x,y,z)ds +f(x, y,z)ds(由Ii,I2组成)(4)[_ ds= [(1为曲线弧T的长度)O0000?机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) f (x, y,z) ds （k 为常数) (3) f (x, y,z)ds ( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度) g(x, y,z) = f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds = + 1 2 f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法转化、计算定积分求曲线积分基本思路：定理：设f(x,J)是定义在光滑曲线弧L: x=p(t),y=y(t) (α≤t≤β)上的连续函数，则曲线积分(,f(x,y)ds存在,且Bf[p(t), y(t)g'?(t)+ y'?(t)dtJ, f(x,y)ds =证：根据定义nZ f(Ek,nk)Ask[, f(x,y)ds = lim1-0k=1Oe00x机动自录上页下页返回结束
= + f x y ds f t t t t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设各分点对应参数为tk（k=0,1,,n)点(k,nk)对应参数为 Tk E[tk-1,tk],p'2(t)+y"2(t) dt△sk=p'?(th)+y'2(th)Atk, th e[tk-1,t]则 (f(x,y)dsn= limZf[p(tk),y(tk)1/p'2(th)+y'2(th)△tk2-0k=1注意g'(t)+y2(t)连续nf[p(tk),y(tk)]/p'?(tk)+y'2(tk) Ntk= lim1→0k=1O0000x机动目录上页下页返回结束
点 ( , ) k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2 − = + ( ) ( ) , 2 2 k k k = + t = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 注意 2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此[, f(x,y)ds[P f[p(t),(t)/p'2(t)+y'2(t)dt说明：(1)：△sk>0,.△tk>0,因此积分限必须满足α<β！(2) 注意到ds = /(dx)? +(d y)2ydsdy= /p'2(t)+yr2(t)dtdx0x因此上述计算公式相当于“换元法”xO0000?机动目录上页下页返回结束
dx dy ds x y o 说明: (1) 0, 0, k k s t 因此积分限必须满足 ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 = + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果曲线 L的方程为=(x)(α≤x≤b),则有[ (x, y)ds = (~ f(x,y(x))/1+y'2(x)dx如果方程为极坐标形式: L:r=r()(α≤≤β),则[, f(x,y)ds( f(r(0)cos0 , r(0)sin0 )/r2(0)+r'2(0)d6推广：设空间曲线弧的参数方程为I: x=d(t), y= y(t), z=w(t)(α≤t ≤β)则(_ f(x, y,z)ds6P f(p(t),y(t),o(t) )g'?(t)+y'2(t)+0'2(t) d tOe000?机动自录上页下页返回结束
如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: L :r = r( ) ( ), 则 = f (r( )cos , r( )sin ) 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x =(t), y =(t), z =(t) ( t ) 则 f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2 + + 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r = b a f (x,(x)) = f ((t) ,(t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束