第八章习题课多元函数微分法基本概念7二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用Oe000X机动目录上页下页返回结束
习题课 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法
基本概念极限、连续1.多元函数的定义、·定义域及对应规律·判断极限不存在及求极限的方法·函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性Oe00x机动目录上页下页返回结束
一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习xyJim1.讨论二重极限时，下列算法是否正确?x0 x+yJ-→01解法1原式= lim0x-→0 1+1xy-0 Jk解法2 令y=kx,原式=lim x：0x→0^1+k解法3 令x=rcos,=rsin,rcossin原式=limE0r→0cos0+sin00e000x机动自录上页下页返回结束
思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx, 解法3 令 x = r cos , y = rsin, 时, 下列算法是否正确?
分析：1xylimlim解1x→0 1± 1x-→0x+yxy-0 JJ-0此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步未考虑分母变化的所有情况，例如,=吾时，+=117此时极限为1：k=0解法2 令y=kx，原式=limxx→0 1+k此法排除了沿曲线趋于原点的情况.例如=x2－x时32X原式= lim一fx-0O0000?机动目录上页下页返回结束
分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时
解沃 令 x=rcos,y=rsinr cosOsin0原式=lim0r→0cos0+sin0此法忽略了θ的任意性，当r→0,→-时rcosOsin0rcosQsino极限不存在！cos+sinの2sin(+)由以上分析可见，三种解法都不对，因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点：同时还可看到本题极限实际上不存在：特别要注意，在某些情况下可以利用极坐标求极限但要注意在定义域内r，θ的变化应该是任意的O0000?机动目录上页下页返回结束
解法3 令 x = r cos , y = rsin, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在
x-2.证明：x2 +y? ±0f(x,y20x2 +y2 = 0在点(0.0）处连续且偏导数存在，但不可微提示：利用2xy≤x2+2,知[ (x,y)]≤(x? + y2)lim f(x,y)=0 = f(O, O)x-0J-→0故f在（0,0）连续又因 f(x,0)= f(0,y)= 0, 所以fx(0,0)= f,(0,0) = 0O0000?机动目录上页下页返回结束
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(Ax)(Ay)?而f(0,0) =[(Ax) + (Ay)2 j2当△x→0,△y→0时f(0,0)(Ax)?(Ay)?(Ax)? +(Ay)?[(Ax)? +(Ay)? ?(所以f在点(0,0)不可微！Oe000x机动自录上页下页返回结束
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 已知f(x+, x-)=x2-2 +(x+y),且f(x,O)= x,求出,f(x,y)的表达式解法1 令u=x+y,V=-y,则x=(u+v),=(u-v): f(u,v) =I(u+v)?-(u-v)? +(u) =uv+(u)即f(x,y)=xy+p(x)I: f(x, 0) = x, .. p(x)= xf(x,y)= x(y+l)解法2 : f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+Φ(x+y)：f(x,y)=xy+(x）以下与解法1相同oeo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x, 0) = x, f (x, y) = x (y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、多元函数微分法显示结构1.分析复合结构画变量关系图隐式结构自变量个数=变量总个数一方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性O000x机动自录上页下页返回结束
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设z=xf(x+y),F(x,y,z)=0,其中f与F分别具dz. (99考研)求有一阶导数或偏导数dx解法1方程两边对x求导,得d1dzdzdy(1 +dxdxdxdxdzdydz11:0FHFdxdxdxdx-xf'f+xf'dzF2- F'xF'f'-xF2f'-fF21-xf'dx-xf'F- F2F'F2(x f'F+F+0)O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 设 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 = x z d d ( 0) x f F3 + F2 F3 F2 − x f − = 1 F2 F3 x f − F2 F1 x f f x f − − + 1 2 F2 xF f − x F f − f 有一阶导数或偏导数, 求 f x f x z x y − x f + = + d d d d 2 3 1 d d d d F x z F x y F + = − (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束