第十章习题课线面积分的计算一、 曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法Oeo00x机动目录上页下页返回结束
习题课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章
一、曲线积分的计算法1.基本方法第一类（对弧长）曲线积分转化→定积分第二类（对坐标O用参数方程(1)统一积分变量用直角坐标方程用极坐标方程第一类:：下小上大(2）确定积分上下限第二类:下始上终O0000x机动目录上页下页返回结束
一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 机动 目录 上页 下页 返回 结束
简单例子计算。,x2+ds,其中L为圆周1 x2+=ax元元C提示：利用极坐标，L:r=acos0<22ds=r? +r'2 do=ad02a?cos?.ado = 2a?原式={axds=2y说明：若用参数方程计算，则x=号(1+cos t)Oa x(0≤t≤2元)y=号sintds=x2 +j?dt==dt2oeo0x机动自录上页下页返回结束
计算 其中L为圆周 提示: 利用极坐标 , d d 2 2 s = r + r 原式 = ax s L d 说明: 若用参数方程计算, o a x y r = ad t 则 d s x y d t 2 2 = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 简单例子
计算.(2a-y)dx+xdy，其中L为摆线x=a(t-sint), y=a(l-cost)上对应t从0到2元的一段弧提示: (2a-y)dx+xdy=a(l+cost)·a(1-cost)dt+a(t -sint)·asintdt= α?t sin tdt2元原式=Ctsintd t0= a?[-tcost - sint ]12元=-2元αO0000?机动目录上页下页返回结束
计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示: = 2 0 2 原式 a tsin td t 2 0 2 = a − t cost − sint 机动 目录 上页 下页 返回 结束
计算xyzdz，其中由平面y=z截球面x2+j2+z2=1所得,从z轴正向看沿逆时针方向tz提示:因在I上有x2+2y2=1,故x = costsint(0≤t≤2元)VS1ysintZV2X2元1cos? t sin? td t原式=2/2J07t(l - cos t)dt7/COs202V2/2元31元元2242216Oe000X机动目录上页下页返回结束
z o y x 1 计算 其中由平面 y = z 截球面 提示: 因在 上有 故 原式 = = − 2 2 1 4 3 2 2 1 2 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算：(2）利用积分与路径无关的等价条件(3）利用格林公式（注意加辅助线的技巧）；(4）利用斯托克斯公式：(5）利用两类曲线积分的联系公式：O0000X机动目录上页下页返回结束
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算I=（(x2+y+z2)ds,其中为曲线ZP[x2 + y2 + z? = α2x+y+z=o解：利用轮换对称性，有x2 ds = [_ yds=x利用重心公式知ds=ds=0(T的重心在原点）(x2 + y2 +z2)ds42277dsS=元a313Oeo00x机动目录上页下页返回结束
例1. 计算 其中 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 x ds y ds z ds 2 2 2 = = 利用重心公式知 I (x y z )ds 3 2 2 2 2 = + + 3 3 4 = a z o y x (的重心在原点) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算I =(x2-y)dx+(y2-x)dy, 其中L 是沿逆时针方向以原点为中心，α为半径的上半圆周解法1 令 P=x2-, = y2-x,则aPQJCOxoyL这说明积分与路径无关，故BA xy)d x +(y2 - x)dy02dxTd3Oe00X机动自录上页下页返回结束
例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 , , 2 2 P = x − y Q = y − x 则 这说明积分与路径无关, 故 I x y x y x y AB( )d ( )d 2 2 = − + − − = a a x d x 2 a 为半径的上半圆周. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D,则1(x2 - y)dx+(y2 -x)d yCJL+BAL(x2 -y)dx+(y2 -x)d yDRABA x023JJ,0.dxdy-f~x?dxa(利用格林公式）3-a思考:(1）若L改为顺时针方向,如何计算下述积分：Ii= f, (x2 -3y)dx+(y2 -x)dy(2)若L同例2，如何计算下述积分：I2 = J(x2 - y + y2)dx+(y2 -x)dyoo0x机动目录上页下页返回结束
解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L = D 0 d xd y x y x y x y BA( )d ( )d 2 2 − − + − x x a a d 2 − − D (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 + y = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 1 3 3 3 2 = − a (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: + = − + − L BA I (x y)d x ( y x)d y 2 2 添加辅助线段 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题解答：t yC(1)Ii = (,(x2 - 3y)dx+(y2 -x)dyLDJL+ABABBA x02.232dxdy+=-2(=α-元)aO3(2)12 = J,(x2 - y+ y2)dx+(y2 -x)dyJ,(x2 - y)dx+(y2 -x)dy+ J, y2 dxL:x=acost, y=asint, t:0→π22?元332a'sin'tdt3C3oeoooX机动目录上页下页返回结束
思考题解答: = − + − L I (x y)d x ( y x)d y 2 2 (1) 1 3 = − L+AB AB = − D 2 d xd y ) 3 2 ( 2 = a a − = − + − L I (x y )d x ( y x)d y 2 2 2 2 (2) + y = − + − L (x y)d x (y x)dy 2 2 + L y dx 2 a sin t d t 3 0 3 − L : x = acost, y = asint, 3 3 2 = − a 3 = −2a t : 0 → 3 3 2 + a = I C o y B A x L D 机动 目录 上页 下页 返回 结束