第四章习题课定积分及其相关问题一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法eol0ox机动目录上页下页返回结束
习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第四章
一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题n.xlx"edx例1. 求 limn-→> Jo1+e1eX≤xn,所以解: 因为 x e[0,1]时,0oX1en0<dxdx0n+11eXdxlim利用夹逼准则得XC2'n-0oeo00x机动自录上页下页返回结束
一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 d . 1 lim 1 0 x e x e x n x n → + 解: 因为 时, x n x e x e + 1 0 所以 x e x e x n x d 1 1 0 + 0 x x n d 1 0 1 1 + = n 利用夹逼准则得 d 0 1 lim 1 0 = + → x e x e x n x n , n x
说明：1）思考例1下列做法对吗？利用积分中值定理原式= limn-→>ol+ es不对！因为依赖于n,且0≤<1.2）此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项O000X机动目录上页下页返回结束
因为 依赖于 且 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 原式 不对 ! n, 0 1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项
2元sinn元sinsinnnn例2. 求 I = lim(考研98）1n+1n+ln00n+2n解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nn1k元k元k元1nsinnZF>nsinsinnnnnn+nk=1k=1kk=11nn2k元lim已知Zlimsinsin元xdxn-→o n+1n-→n元nk=102利用夹逼准则可知元O000x机动自录上页下页返回结束
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： 1 1 sin n k n k k n = + 已知 1 1 0 1 2 lim sin sin d , n n k k x x n n → = = = 利用夹逼准则可知 2 I . = = + n k n n k n n 1 1 sin 1 = n k n n k 1 1 sin (考研98 ) 1 1 lim = → n + n n 例2. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2元n+1)元n元sinsinsin思考： J = lim1nn1-n-00n+n+n+2n+1提示：由上题2元n元2SinsinsinnnnI = limI1n+1n+n→00n+元12n(n+1)元sin元sin故nn limJ = I-lim+n-→> n+1n+n>00n+1220+0元元oeoo0x机动目录上页下页返回结束
思考: 提示:由上题 1 1 ( 1) sin + + + + n n n n 1 1 ( 1) sin lim + + → + + n n n n n 2 = − 0 + 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故
nnn练习：1.求极限 lim22222+1n-→nnn+nn111元解：原式 = lim40In-o n1+xi-121n2n2n2n2.求极限limn+1n+n-n→002n1n'~n~ZZ2n提示：lim≤原式≤ lim2nn-→ n + ln-0 ni=1i=1n117nZ1n左边 = lim2右边2ln 20n- n+ni-1oleo0x机动目录上页下页返回结束
练习: 1. 求极限 ). 1 2 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n n n n + + + + + → + 解：原式 n n 1 lim → = = + n i n i 1 2 1 ( ) 1 x x d 1 1 1 0 2 + = 4 = 2. 求极限 ). 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → + 提示： 原式 n n 1 lim → = n i n i 1 2 1 lim + = → n n n = n i n i 1 2 x x 2 d 1 0 = 1 1 lim n→ n + = n i n i 1 2 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1例3．估计下列积分值dx2+x111解：因为<x e[0,1]-x-+x/X1dxdxOJ02一X11元dx <即62+xoleo0x机动目录上页下页返回结束
例3. 估计下列积分值 解: 因为 4 1 , 4 1 2 − x ∴ dx 2 11 0 x x d 4 1 1 0 2 − 即 2 1 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2?d x≤2e?例4.证明etle00--,则f(x)=(2x- 1)e+-证: 令f(x)=et1令f'(x)=0,得x=2"1f(0) =1,f(2)= e2fG)4fe1f(x)=e2maxmin(x)4fe[0,2][0,2]222故efdx≤2e24feJOoeolo0x机动自录上页下页返回结束
例4. 证明 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5．设f(x)在[0,1]上是单调递减的连续函数试证明对于任何q [0,1]都有不等式[f(x)dx≥qf。f(x)dx证明：显然q=0,9=1时结论成立.当0<g<1时Jf(x)dx -qf,f(x)d x=(1-q)]~ f(x)dx -q/~f(x)dx(用积分中值定理）5, [0,q]=(1-q).q: f() -q·(1-q)· f(52)5, E[q,1]=q(1-q)[f()- f(2)]≥0故所给不等式成立1eo00x机动目录上页下页返回结束
例5. 设 在 上是单调递减的连续函数，试证 q0,1 都有不等式 证明：显然 q = 0,q =1 时结论成立. (用积分中值定理) ( ) 1 q f (1 ) ( ) 2 − q f 当 0 q 1 时, 故所给不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何
例6.已知f(x)在x>0处连续,f(1)=3，且由方程ff(t)dt =x f' f(t)dt+y f'f(t)dt确定是x的函数,求f(x)解：方程两端对x求导，得f(xy) (y+ xy') =[ f(t)d t+x· f(y)·y"+y'f f(t)dt +y· f(x)令x=1,得 f(y)y={f(t)dt+yf(l)3再对求导,得 f(y)==f()=>f(y)=3lny+Cy2令y=1,得C=3,故f(x)=3lnx+3leol0x机动自录上页下页返回结束
例6. 解: 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 令 y =1, 得C = 3, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故