第四章一元函数积分学及其应用不定积分定积分定积分的应用
第四章 一元函数积分学及其应用 不定积分 定积分 定积分的应用
第四章第一节不定积分（一原函数与不定积分的概念基本积分表、三、不定积分的性质1eo00x机动自录上页下页返回结束
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分(一) 第四章
一、原函数与不定积分的概念引例：一个质量为 m的质点,在变力F = Asint 的作下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t)FA根据牛顿第二定律，加速度 α(t)===-sintmmA因此问题转化为:已知 v(t)==sint,求 v(t)=?m定义 1.若在区间I上定义的两个函数 F(x)及f(x)满足 F(x)=f(x)或 dF(x)= f(x)dx,则称 F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数A44如引例中,=sint的原函数有cost+3, ..COSmmmoeoo0x机动目录上页下页返回结束
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？定理1．若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数，初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数1eo00x机动自录上页下页返回结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族F（x)+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)'= F'(x) = f(x). F(x)+C是f(x)的原函数2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即Φ'(x)= f(x)又知F'(x)= f(x). [Φ(x)- F(x)}'=Φ'(x)-F'(x) = f(x)- f(x) = 0故Φ(x)=F(x)+Co (Co为某个常数)即 Φ(x)=F(x)+C。属于函数族 F(x)+C.olololox机动自录上页下页返回结束
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
定义 2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在1上的不定积分，记作「f(x)dx，其中f(x）一被积函数；【一积分号；(P183)f(x)dx一被积表达式x一积分变量;若F'(x)= f(x),则[f(x)dx=F(x)+C_（C为任意常数)[e"dx = e* +C例如,C称为积分常数不可丢！J x2dx= 1x3 +Csin xdx = - cos x +Coeol00x机动自录上页下页返回结束
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
不定积分的几何意义：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线[f(x)dx 的图形一 f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族y0XxoOeo0x机动自录上页下页返回结束
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点（1，2）且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程解:： y'=2x. y=[2xdx =x2 +C(1, 2)所求曲线过点（1，2），故有2 =12 + C0xC=1因此所求曲线为 =x2+1oleo0x机动自录上页下页返回结束
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2.质点在距地面xo处以初速vo垂直上抛，不计阻力，求它的运动规律解：取质点运动轨迹为坐标轴，，原点在地面，指向朝上质点抛出时刻为t=0，此时质点位置为xo，初速为Vo·设时刻t质点所在位置为x=x(t)，则xdxv(t)(运动速度）x = x(t)dt再由此求tYd? xdvXo = x(0)(加速度)-gd,2dt先由此求 v(t)Oeo0x机动自录上页下页返回结束
o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
dy先求v(t). 由-g，知xdtx = x(t)v(t)= f(-g)dt = -gt +Ci由v(O)= Vo，得Ci=Vo,故Xo = x(0)v(t) = -gt +vodx再求 x(t). 由-gt+vo，知dtx(t) = ((-gt+ vo)dt =-gt? +Vot+C2由x(0)= Xo，得C2= xo，于是所求运动规律为x(t) =-1gt? + Vot + Xooleoloex机动目录上页下页返回结束
先求 由 知 v(t) = ( − g)dt C1 = −gt + (0) , 0 由v = v , 1 0 得C = v 0 v(t) = −gt + v 再求 x(t) ( t v )dt = − + 0 g 0 2 2 2 1 = − gt + v t +C (0) , 0 由x = x , 2 0 得C = x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) = − gt + v t + x 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0 x = x x = x(t)