习题课(一)第五章一阶微分方程的解法及应用一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题三、 两类二阶微分方程的解法四、微分方程的应用oeooex机动目录上页下页返回结束
一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第五章 四、微分方程的应用 三、两类二阶微分方程的解法
一、一阶微分方程求解1．一阶标准类型方程求解四个标准类型：可分离变量方程，齐次方程线性方程，全微分方程关键：瓣别方程类型，掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法一一代换自变量代换因变量代换某组合式Oe000X机动目录上页下页返回结束
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求下列方程的通解13+x(2) xy' = /x2 - y2 + Je= 0;1)2y16x3 + 3xy2(3) y'(4) y:3x2y+2y32x-y提示：(1)因e+×=ee*,故为分离变量方程:dy=e dxe12-1=ex+C通解e-3O0000?机动目录上页下页返回结束
例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2 + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y − = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + + = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) xy' = /x2 - 2 + J方程两边同除以x即为齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程xu'= /1-u?x>0时, '= /1-()+xx()?+xu'=-V1-u?x<0时,y'=-xx1(3) y2x- ydx调换自变量与因变量的地位，化为dy用线性方程通解公式求解，Oe00X机动目录上页下页返回结束
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy = x − y + y 2 2 (2) x 0时， 2 xu = 1− u 2 xu = − 1− u ( ) x y x y y = − + 2 1 ( ) x y x y y = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y − = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
6x3 + 3xy(4) y=3x2y + 2y3这是一个齐次方程．令u=方法1.x方法2化为微分形式(6x3 +3xy2)dx+(3x2 y+2y3)dy = 0apaQ6xy:axay故这是一个全微分方程O0000?机动目录上页下页返回结束
2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + + = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P = = 6
例2.求下列方程的通解(l) xy'+y=y(lnx+lny)(2) 2x lnxdy+ y(y2 Inx -1)dx = 03x2 + y2 - 6x+3(3) y':2xy-2y提示：（1）原方程化为（xy)'=yln(xy)duuinu（分离变量方程）令u=xy,得dxx(2)将方程改写为31dyVZ=V(贝努里方程)dx2x2xlnxOe00x机动自录上页下页返回结束
例2. 求下列方程的通解: (1) xy + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3x? + y2 - 6x+3(3) y"2xy-2yd y_ 3(x-1)2 + y2化方程为dx2y(x-1)dydy dtdy令t=x-1,则dxdtdt dx3t? + y2dy(齐次方程）dt2ty令y=ut可分离变量方程求解Oe00x机动目录上页下页返回结束
令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设F(x)=f (x) g(x), 其中函数,(x), g(x) 在( - 00,+o0)内满足以下条件:f(x)= g(x)， g(x)= f(x)，且 f(0)=0.f(x)+ g(x)= 2e*(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2) 求出F(x) 的表达式(03考研)解: (1) :: F'(x) = f'(x)g(x)+ f(x)g(x)= g2(x)+ f2(x)=[g(x) + f(x))2 -2 f(x)g(x)=(2e*)2 -2F(x)所以F(x）满足的一阶线性非齐次微分方程oeoo0x
例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f (x) = g(x), g (x) = f (x), 且 f (0) = 0, (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1) F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 = g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 = g x + f x − f x g x (2 ) 2 ( ) 2 e F x x = − 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e
F'(x)+ 2F(x) = 4e2x(2)由一阶线性微分方程解的公式得F(x)=e-][2d*[[4e2x.e]2dx2dxdx+Cl=e-2x[[4e4× dx+C]2x+Ce-2xe将 F(O)=f(O)g(O)=0代入上式，得C=-1-2xF(x)=e2x -e于是eo0oll0lxE区口米
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 F x e e e x C x x x = + − ( ) 4 d 2d 2 2d e e x C x x = + − 4 d 2 4 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式，得 C = −1 于是 x x F x e e 2 2 ( ) − = − x F x F x e 2 ( ) + 2 ( ) = 4 x x e Ce 2 −2 = +
二、解微分方程应用问题例4.已知某曲线经过点（1，1）它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程提示：设曲线上的动点为M(x,y)，此点处切线方程为Y-y=y'(X-x)令X=0,得截距Y=-y'x,由题意知微分方程为y-y'x=xytM(x,y)即--y=-1xtanα = xyx定解条件为 x=1=1.x x0求解过程略O0000X机动目录上页下页返回结束
求解过程略 M (x, y) y o x 例4 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 y − y x = x 即 1 1 − y = − x y 定解条件为 1. y x=1 = x tan = xy x 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、解微分方程应用问题