第六章第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、 幂级数的运算四、幂级数和函数的性质Oeo0x机动目录上页下页返回结束
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 四、幂级数和函数的性质
函数项级数的概念设un(x)(n=1,2，)为定义在区间I上的函数,称Eu,(x) =u(x)+u,(x)+L +u,(x)+Ln=1为定义在区间I上的函数项级数8对xoEI，若常数项级数Zun(xo)收敛，称xo为其收n=1敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；8若常数项级数Zun（xo）发散，称xo为其发散点，所有n=1发散点的全体称为其发散域oe000x机动目录上页下页返回结束
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x），称它为级数的和函数，并写成8S(x)=Eun(x)n=l若用S，(x)表示函数项级数前n项的和,即nSn(x)=Eus(x)k=1令余项rn(x)= S(x)- Sn(x)则在收敛域上有lim Sn(x)= S(x) ,lim rn(x) = 0n>00n->00Oe000X机动目录上页下页返回结束
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束
80Ztrn=1+x+x2+L +xn +L例如，等比级数n=0它的收敛域是（-1,1）,当xE(-1,1)时，有和函数81Z:th1-xn=0它的发散域是（-0，1]及[1，+），或写作|x|≥1.n.-n8+xxZ(x≠0),当x|=1时收敛又如,级数2nn=0但当0<x|≠1时,lim un(x)=0,级数发散;n-所以级数的收敛域仅为「x=1.oe000x机动自录上页下页返回结束
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1]及[1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论下列级数的收敛域Xsin nxZ(1)2nn=118Z(2)x+n+lx+nn=1O0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论下列级数的收敛域 2 1 sin (1) n nx n = 1 1 1 (2) ( ) n x n x n 1 = − + + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、幂级数及其收敛性8Z形如an(x-xo)" = ao +a(x-xo)+a2(x-xo) +n=0L +a,(x-x)"+L其中数列an(n=0,l,)称的函数项级数称为幂级数为幂级数的系数下面着重讨论 xo=0的情形,即80ZLanx"= a +ax+a,x +L +a,x" +Ln=0814hZx<1 即是此种情形例如，幂级数1-xn=0oeo0x机动目录上页下页返回结束
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束
8nZ定理1.（Abel定理）若幂级数anxn=0在x=xo点收敛,则对满足不等式|xxo」的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛,则必有lim anx=0,于是存在n-00n=0常数M>0.使anxo≤M (n=1,2,.)收敛发散收o敛发散入发散O000?阿贝尔目录上页下页返回结束
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
n.n+xXn≤M20nnXoxo8XZanrnMZ收敛,也收敛..当xxo「且使级数收敛，则由前面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾故假设不真：真．所以若当x=xo时幂级数发散，则对一切满足不等式|x>|xo的x，原幂级数也发散证毕Oe000x机动目录上页下页返回结束
当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束
8Z的收敛域是以原点为anxn由Abel 定理可以看出n=0中心的区间定理2.对于任意的具有非零的收敛点和发散点的幂8Zanx"，必存在一个确定的非负数 R，使得级数n=0当|x「R时，级数发散；当x=土R时，级数可能收敛，也可能发散O0000x机动目录上页下页返回结束
级数 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 中心的区间. 定理2. 对于任意的具有非零的收敛点和发散点的幂 的收敛域是以原点为 ，必存在一个确定的非负数 R ，使得 发散；当 x = R 时，级数可能收敛，也可能发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n=0 n n a x 当 | x | R 时，级数
用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则R=0时,幂级数仅在 x=0 收敛;R= 时,幂级数在（-00,+oo)收敛;0<R<，幂级数在（-R,R）收敛;在『-R,R1外发散；在x=±R可能收敛也可能发散.圣，（-R，R）称为收敛区间R称为收敛半径（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散女x发散收敛发散O0ol0l0X机动目录上页下页返回结束
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束