第章多元函数微分法及其应用一元函数微分学推广多元函数微分学注意：善于类比，区别异同
推广 第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用
第八章第一节多元函数的基本概念一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性o000x机动目录上页下页返回结束
第一节 第八章 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念
一、 区域1.邻域点集U(P,）=PPP<,称为点P的邻域例如,在平面上U(Po,8 )= (x, y)/(x-xo)2 +(y - yo)2 <8(圆邻域)在空间中，U(Po,0) =(x, y,z)/ /(x -xo)2 +(y- yo)? +(z - zo)2 <8 )(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径，也可写成 U(Po).0点 P。的去心邻域记为 U(Po）={Pl0<PPol<O100010?机动目录上页下页返回结束
0 δ PP0 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, U( P0 ,δ ) = (x, y) (圆邻域) 在空间中, U( P0 , ) = (x, y,z) (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆邻域可以互相包含平面上的方邻域为U(Po,8)=((x,y)/ [x-xo|<8, [y-yol<81eo0x机动目录上页下页返回结束
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U(P0 ,δ ) = (x, y) 。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 区域(1)内点、外点、边界点E设有点集E及一点P：·若存在点 P的某邻域 U(P)C E,则称P为E的内点·若存在点 P的某邻域 U(P)N E=の则称P为E的外点：·若对点P的任一邻域 U(P)既含E中的内点也含E的外点，则称P为E的边界点.显然,E的内点必属于E，E的外点必不属于E，E的边界点可能属于E.也可能不属于Eleool0x机动自录上页下页返回结束
2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E
(2) 聚点E若对任意给定的，点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点，则称P是E的聚点聚点可以属于E，也可以不属于E（因为聚点可以为E的边界点）所有聚点所成的点集成为E的导集oleo0x机动自录上页下页返回结束
(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 )
(3）开区域及闭区域·若点集E的点都是内点，则称E为开集；，E的边界点的全体称为E的边界，记作E：·若点集EDE，则称E为闭集；·若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连则称D是连通的：D·连通的开集称为开区域，简称区域；·开区域连同它的边界一起称为闭区域1eo00x机动目录上页下页返回结束
D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
例如，在平面上((x,y)[x+y>0)开区域0((x,J)| 1<x? +y2 <4)V((x,y)] x+y≥0)3闭区域((x,y)1≤x2 +y2 ≤ 4 )2xy2x01eo00x机动目录上页下页返回结束
例如，在平面上 (x, y) x + y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x + y (x, y) x + y 0 ( , ) 1 4 2 2 x y x + y 开区域 闭区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束x y o 1 2 x y o x y o x y o 1 2
整个平面是最大的开域也是最大的闭域；101 x点集((x,J)x>1)是开集，但非区域对区域D，若存在正数K，使一切点PeD与某定点A的距离「AP<K，则称D为有界域，否则称为无界域。10000x机动目录上页下页返回结束
整个平面 点集 (x, y) x 1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −1 o 1 x y • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无
3.n维空间n元有序数组（xi,x2，,xn）的全体称为n维空间记作R"，即Rn =RxRx...xR={(xi,x2,.,xn) xh eR, k=1,2,.,n )n 维空间中的每一个元素（xi,x2,,xn）称为空间中的一个点，数x称为该点的第k个坐标.当所有坐标x=0时，称该元素为Rn中的零元,记作0.leol0x机动目录上页下页返回结束
3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, R , n n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 R = RRR n 一个点, 当所有坐标 称该元素为 n R 中的零元,记作 O