第十章第七节场论初步场的表示法、方向导数二、三、梯度四、向量场的散度五、向量场的旋度Oe000X机动目录上页下页返回结束
第十章 第七节 二、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、梯度 一、场的表示法 场论初步 四、向量场的散度 五、向量场的旋度
一、场的表示法数量场(数量函数)如：温度场，电位场等函数场(物理量的分布)向量场(矢量函数）如：力场，速度场等O0000x机动自录上页下页返回结束
一、场的表示法 函数 (物理量的分布) 数量场 (数量函数) 场 向量场 (矢量函数) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场, 速度场等 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、方向导数定义:若函数f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处pp沿方向l(方向角为α，β,)存在下列极限：P(x, y,z)Aflimp-0pf(x+x, y+Ay,z+ △z) - f(x,y,z)记作a f= limalp→0pp= /(△x)? +(Ay)? +(△z)?,△x=pcosα, Ay=pcos β, △z=pcos yaf则称为函数在点P处沿方向「的方向导数alO0000?机动自录上页下页返回结束
l P(x, y,z) 二、方向导数 定义: 若函数 f (x, y,z) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作
定理：若函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处可微则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有afafafafcos βcosα+COSYalaxazayp'其中α，β,为l的方向角p证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得P(x,y,z)afafaf入1z+o(p)1x+10xayazofafCcos)+o(p)COScosaαOzoyaxafafafaf△f故limCOSCOSCOSα +alaxayazpp-→0O00100机动目录上页下页返回结束
若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 lim cos cos cos z f y f x f l f + + = 证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f + + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 故 cos cos cos z f y f x f + + =
对于二元函数,f(x,y),在点 P(x,y)处沿方向 l(方向角为α,β）的方向导数为y = lim (x+Ax, y+y)-f(x,)alp→0pP= fx(x, y)cosα + f,(x, y)cos βx0(p = /(Ax)2 +(Ay)?, △x= pcosα, △y= pcos β特别：afaf元时,有·当1与x轴同向(α=0,β3=2alaxafaf元·当1与x轴反向(α=元,β=)时,有2al0xoeo0x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 f (x, y), 为, ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方 ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → = f x (x, y)cos + f y (x, y)cos P l x y o x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = − l 向角
例1. 求函数u= x2yz在点 P(1, 1, 1)沿向量/=(2,-13)的方向导数解：向量7的方向余弦为231COSAcosα=COSV14V14V/1421au32xy2al/14V14/14 /(1, 1, 1)6V14O0000?机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . = l P u 14 2 2xyz + 14 2 3 x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为
例2.求函数z=3x2-2在点P(2,3)沿曲线=x21朝x增大方向的方向导数解：将已知曲线用参数方程表示为x=x2V=x2 x它在点P的切向量为勺 (1, 2x)|x=2 =(1, 4)14cosβ=COSα=V17V174Oz601/171(2,3) —~17alD17O0000x机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解: 将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1 cos = 17 60 = o x y 2 P = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设是曲面2x2+3y,2+z2=6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量, 求函数 u= ~6x +8y2在点P处沿z方向n的方向导数解:n= (4x,6y, 2z)|p= 2(2,3, 1)312方向余弦为cosαCOSPCOSYV14V14V14Qu6x6而0x| p=z/6x? +8y214PQu8Qu同理得-V14oyV14ozPQu116×2+8×3-14×17on14PO0000?机动目录上页下页返回结束
例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = 14 1 cos = 而 x P u = n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1 + − z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n = n
三、梯度afafafaf方向导数公式OsBCOSYcOs α +alaxazay?f ?f?f令向量 G=0x"zy7° =(cos α , cos β , cos y)=℃=|cos(G,7°)（[7°|=1)al当70与G方向一致时，方向导数取最大值：IG一max方向：f变化率最大的方向G这说明模：f的最大变化率之值Oe00x机动自录上页下页返回结束
三、梯度 方向导数公式 cos cos cos z f y f x f l f + + = 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (cos , cos , cos ) 0 l = , 当l 0 与G方向一致时 G : ( ) G l f = max , , fff G x y z =
1.定义向量G称为函数,f(P)在点P处的梯度（gradient)记作grad f,即aadfdfdfgrad f =zax同样可定义二元函数f(x,y)在点P(xy）处的梯度ofO（%%)grad f20x说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影2.梯度的几何意义O0000?机动目录上页下页返回结束
1. 定义 即 同样可定义二元函数 P(x, y) 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 = z f y f x f , , 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义 G grad , f