第六章第·节傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数二、三、正弦级数和余弦级数O0000x机动目录上页下页返回结束
第八节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第六章 傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性（谐波函数）简单的周期运动:y=Asin(のt+)（A为振幅，の为角频率，β为初相）8复杂的周期运动：=Ao+ZAnsin(nのt+n）n=1（谐波迭加）An sinPn cos not+ An cos Pn sinnotao令, an = An sinPn, bn = An cosPn, t=xAo28ao(an cos nx + bn sin nx)得函数项级数+2k=1称上述形式的级数为三角级数O0000?机动目录上页下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系1, cos x, sinx, cos 2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx,...在「-元，元]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在[一元，元]上的积分等于0。" 1.cosnxd x ={" 1 sinnxdx = 0(n=1,2,...)证:T元元cos kx cos nx dx7[cos(k +n)x +cos(k -n)x ]cos kxcos nx = ("[cos(k +n)x +cos(k-n)x Jd x= 0 (k ± n){" sinkxsinnxdx=0 (k±n)同理可证：元元coskx sinnxdx = 0元Oe000?机动目录上页下页返回结束
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，元]上的积分不等于0．且有"1.1dx=2元元cos~nxdx =元一元(n=1,2, ...)元sin nxdx = 元一元1 + cos2nx1- cos2nx9sinCOSnx=nx :22O000X机动目录上页下页返回结束
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x）是周期为2元的周期函数，且8t) = 0 + Z(an cos nx + bn sin nx)①f(x)2n=1右端级数可逐项积分，则有an =1J"f(x)cos nxdx(n=0,1,...)②bn =1["f(x)sinnxdx (n=l, 2,...)证：由定理条件，对①在[一元，元]逐项积分，得元元元8aoZan J cos nx dx + bn J sinnx dxJ f(x)dx =dx+2n:一元一元元元=ao元Oe00x机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)d xao=元ao?元I f(x)cos kxdx = cos kx dx +2一元8元Zcos kx sinnx dxcoskxcosnxdx+bnXan元元n=l元cos? kxdx = ak(利用正交性)元f(x)coskxdx (k =1, 2,...)一ak元类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得b==』" (x)sinkxdx (k=1,2, .)TOe000?机动自录上页下页返回结束
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
80aoZ(an cos nx + b, sin nx )+f(x2n=11元f(x)cos nxd x(n=0,1,...)n元元6f(x)sin nxd x(n=1,2,...)n元由公式②确定的an，bn称为函数f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数①称为f(x）的傅里叶级数傅里叶，J.-B.-JO0000x博里叶目录上页下页返回结束
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
设f(x)是周期为2元的定理3（收敛定理展开定理）周期函数，并满足狄利克雷（Dirichlet)条件1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2）在一个周期内只有有限个极值点注意：函数展成则f(x)的傅里叶级数收敛，且有傅里叶级数的条80 + Z(an cos nx + b sinnx )件比展成幂级数2的条件低得多n=1x为连续点f(x),f(xt)+ f(x)x为间断点2元.20其中an,bn为f(x)的傅里叶系数．（证明略00l00简介目录上页下页返回结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x）是周期为2元的周期函数，它在【-元，元）上的表达式为-1, 一元≤x<0f(x)1. 0≤x<元将f(x)展成傅里叶级数x01元龙解：先求傅里叶系数I"f(x)cos nxdxan=二1元：元 1 . cos nxd x(-1)cosnxdx+元J0元J一元=0(n=0,1,2,...)O0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)sin nxdx5一元1（7" 1 sin nxdx(-1)sinnxd x +JOT元元 C元211cos nxcos nx- cosn元]+元n元nn元JO元4当n=1,3,5,2n元-n元0当n=2,4,6,.:1/sin(2k -1)x +...: f(x) =sinx + =sin3x32k-1元(—00<x<+00,x±0,±元,±2元,..)O000x机动目录上页下页返回结束
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束