第五章第三节高阶微分方程(4):常系数非齐次方程f(x)=eaxPm(x)型一、二、 f(x)=eax[P(x)cosox+ P(x)sinのx) 型O0000x机动目录上页下页返回结束
高阶微分方程(4):常系数非齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 f (x) = e x Pm (x) 型 f x e P x x l x ( ) = [ ( )cos ( )sin ]型 ~ P x x + n 一、 二、 第五章
二阶常系数线性非齐次微分方程：y"+py'+qy=f(x)（p,q为常数)根据解的结构定理，其通解为y=Y+y*齐次方程通解非齐次方程特解求特解的方法一待定系数法根据,f(x)的特殊形式，给出特解μ*的待定形式代入原方程比较两端表达式以确定待定系数eo00机动自录上页下页返回结束
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=exPm(x) 型入为实数，Pm(x)为 m次多项式设特解为 *=e×Q(x)，其中Q(x)为待定多项式y*' =exx[aQ(x)+Q'(x)]y*" = eax[2? Q(x)+2 aQ'(x)+Q"(x)]代入原方程，得Q"(x) +(2 a + p)Q'(x)+(a2 + pa +q)Q(x) = Pm(x)(1）若不是特征方程的根，即++0,则取Q (x)为 m 次待定系数多项式 Qm(x),从而得到特解形式为 y*=exQm(x)oe000x机动自录上页下页返回结束
e [Q (x) x + (2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 + + p + q Q x e Pm(x) x = 一、 f (x) = e xPm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) , x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x). m x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q"(x) +(2a+p)Q'(x) +(2? +pa+g)Q(x) = Pm(x)(2）若入是特征方程的单根，即+p+=0, 2+0,则Q(x)为m 次多项式，故特解形式为 y*=xQm(x)ex(3若入是特征方程的重根，即+p+q=0, 2+p=0,(x)enx则Q"(x）是 m次多项式,故特解形式为 *=x~Qm(小结对方程①，当入是特征方程的k重根时,可设特解 y*=xk Qm(x)eax (k= 0,1, 2)此结论可推广到高阶常系数线性微分方程oe000x机动目录上页下页返回结束
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x)e (k = 0,1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程"-2y'-3y=3x+1的一个特解解：本题 =0，而特征方程为 r2-2r-3=0,几=0不是特征方程的根设所求特解为y*=box+bi，代入方程：- 3box - 3bi - 2bo = 3x +1比较系数，得-3bo=3-1,b =3[- 2bo - 3bi = 11于是所求特解为y*=-x+3O0000x机动自录上页下页返回结束
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为 = 0 = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求方程y"-5y'+6y=xe2的通解解：本题=2,特征方程为r2-5r+6=0,其根为n=2, r =3勺 Y=Ce2*+C2e3x对应齐次方程的通解为y*= x(bo x+b))e2x设非齐次方程特解为 -2bo x-bi +2bo = x代入方程得1- 2bo =1b比较系数，得?2[2bo -bi = 0因此特解为 y*= x(-x-所求通解为 y=Ce2×+C2e3xeo0ox机动自录上页下页返回结束
例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y" +3y" +2y' =1例3.求解定解问题y(0) = y(0) = y"(0) = 0解：本题=0,特征方程为r3+3r2+2r=0.其根为r = 0, r2 =-1, r3 =-2故对应齐次方程通解为 Y=C +Cze*+C;e-2×设非齐次方程特解为*=bx,代入方程得2b=1,故y*=x,原方程通解为2xy=Ci +C2e-*+C3eX2Ci +C2 +Cs = 0由初始条件得-C2 -2C3 =-2C2 + 4C3 = 0O0000X机动自录上页下页返回结束
例3. 求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2 1 −C2 − 2C3 = − 故对应齐次方程通解为 Y = C1 x C e − + 2 x C e 2 3 − + 原方程通解为 C1 y = x C e − + 2 x C e 2 3 − + 由初始条件得 = 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解得[Ci = -34C2 = 1C3 = - /4于是所求解为321Xte184242.x3+2x+4e-x-e-2O0000x机动目录上页下页返回结束
于是所求解为 y e e x x x 2 1 4 1 4 3 2 = − + − + − − 解得 = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 f(x)= P,(x)eαx cos βx或 f(x)= P,(x)eαx sin βx(1)先讨论方程：y"+py+q=P,(x)eα×cosβx由Euler公式知 P,(x)eα×cos βx为 P,(x)e(α+ip)x的实部(2)y" + py'+q= P(x)e(α+ip)x考虑方程:则(2)的解的实部是(1)的解，因此，只要按照前面(一)的方法求出(2)的一个解，取其实部即为(1)的一个解类似地,由于 P,(x)eα*sin βx为 P,(x)e(α+iB)×的虚部,只要求出(2)的一个解，取其虚部即为方程y" + py'+q = P(x)eαx sin βBx的一个解oeo0x机动目录上页下页返回结束
二、 ( ) cos x P x e x n ( ) ( ) i x P x e n + ( ) ( ) cos ( ) ( ) sin x x n n f x P x e x f x P x e x = = 或 先讨论方程: ( ) cos x n y py q P x e x + + = (1) 考虑方程: 由Euler公式知 的实部. 则(2)的解的实部是(1)的解, 因此, 只要按照前面(一)的 ( ) ( ) i x P x e n + ( ) sin x n y py q P x e x + + = ( ) sin x P x e x n 为 类似地, 由于 ( ) ( ) i x n y py q P x e + + + = (2) 方法求出(2)的一个解, 取其实部即为(1)的一个解. 为 的虚部, 只 的一个解. 要求出(2)的一个解, 取其虚部即为方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求方程y"-y=e*sin 2x的通解解：对应的齐次方程的通解为：Y=C,e＊+（考虑方程：J"-=e(1+2i)x由于(1+2i)不是特征根,故设 y*= Ae(l+2i)x代入上述方程,得：A(1+2i)2-A=1,1(i+1)84(i-1)+2ix(i+1)e*(cos2x +isin2x)81[(cos2x - sin 2x) + i(cos 2x + sin 2x)]81取其虚部得原方程一个特解：=e*(cos 2x + sin 2x)8原方程通解：y=C,e*+C,e=*_e*(cos2x+sin 2x),8Oe000x机动目录上页下页返回结束
考虑方程: y y e sin 2x的通解. x − = . 1 2 x x Y C e C e − = + (1 2 ) . i x y y e + − = (1 2 ) * . i x y Ae + = (1 2 ) 1, 2 A + i − A = ( 1), 8 1 4( 1) 1 = − + − = i i A 1 1 (1 2 ) * ( 1) ( 1) (cos 2 sin 2 ) 8 8 i x x y i e i e x i x + = − + = − + + 1 [(cos 2 sin 2 ) (cos 2 sin 2 )] 8 x = − − + + e x x i x x 1 (cos 2 sin 2 ) 8 x y e x x = − + 1 2 1 (cos 2 sin 2 ). 8 x x x y C e C e e x x − = + − + 解: 对应的齐次方程的通解为: 由于(1+2i)不是特征根, 故设 取其虚部得原方程一个特解: 代入上述方程, 得: 例4. 求方程 原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束