第四章第二节定积分的概念及性质一、定积分问题举例二、定积分的定义三、 定积分的性质oeo00x机动目录上页下页返回结束
第二节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第四章
一、定积分问题举例h矩形面积=αhah梯形面积==(α+b)ba2h1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线Vf (xy= f(x) (f(x)≥0)A=?及x轴，以及两直线x=a,x=bXol所围成，求其面积A.aboeoolox机动目录上页下页返回结束
一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . A = ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y = f (x) 矩形面积 梯形面积
解决步骤：1) 分割.在区间[a,bl中任意插入n-1个分点a = Xo <Xi <X2 <...<Xn-1 < xn = b用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形2近似求和.在第i个窄曲边梯形上任取;E[xi-1,x;]y作以[xi-1,x;]为底，f()为高的小矩形，并以此小梯形面积近似代替相应o axibxXi-1 Xi窄曲边梯形面积只△Ai，得5iA; ~ f(S)Axi(△x; = xi-xi-1, i=1,2,..,n)ol0lolo0机动目录上页下页返回结束
1 x i x i−1 a x y o 解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] i i 1 i x x − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似求和. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( ) i i i i = i − i−1 A f x x x x i 机动 目录 上页 下页 返回 结束
nnA= ZA; ~Zf(5i)Axii-1i=1令 =max(△x;,则曲边梯形面积3）取极限10ol a xii-1bxXi-1 Xi5ioeoo0?机动自录上页下页返回结束
= = n i A Ai 1 = n i i i f x 1 ( ) 3) 取极限. 令 则曲边梯形面积 → = = n i A Ai 1 0 lim → = = n i i i f x 1 0 lim ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a y o 1 x i x i−1 x i
2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度v=v(t) EC[T,T2],且v(t)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤：1)分割.在[T,T1中任意插入n-1个分点,将它分成n个小段[ti-1,t,](i=1,2,,n),在每个小段上物体经过的路程为 △s;(i=l,2,,n)2)近似求和．任取; E[ti-1,t;]，以v(s)代替变速，得△s; ~v(5i)Ati(i =1, 2,..,n)ol0lolo0机动自录上页下页返回结束
2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 近似求和. 得 i i i s v( )t (i =1, 2, ,n) 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为
ns~ Zv(si)△tii-13）取极限。nZv(si)Atis = lim(a = max △t,)201=1l<i<n上述两个问题的共性·解决问题的方法步骤相同：“分割，近似求和，取极限特殊乘积和式的极限·所求量极限结构式相同eoo0x机动自录上页下页返回结束
3) 取极限 . 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 定积分定义设函数,f(x)在[a,b]上有界,若对[a,b]的任一种分法α= Xo0 ;=1此时称f(x）在［a，b］上可积o0o0l0?机动自录上页下页返回结束
o a b x 二、定积分定义 任一种分法 , a = x0 x1 x2 xn = b 任取 i 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 1 x i x i−1 x b a f (x)dx 即 = b a f (x)dx i n i i f x → =1 0 lim ( ) 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[a,b]称为积分区间积分上限nZ f(5)Axif(x)dx|= lim20i=1积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx= (~f(t)dt=/f(u)duO100010?机动目录上页下页返回结束
= b a f (x)dx i n i i f x = → 1 0 lim ( ) 积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a, b]称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 b a f (x)dx = b a f (t)d t = b a f (u)d u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定积分的几何意义：f(x) >0, (~ f(x)dx = A曲边梯形面积f(x)<0, {~f(x)dx=-A曲边梯形面积的负值yASA1A2bxaAA~ f(x)dx = A - A2 + A - A4 + As各部分面积的代数和eoo0x机动目录上页下页返回结束
定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x)d x A A A A A b a = − + − + 各部分面积的代数和 机动 目录 上页 下页 返回 结束
可积的充分条件：定理1. 函数 f(x)在[a,b]上连续>f(x)在[a,b]可积定理2.函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点一>f(x)在[a,b]可积(证明略)x? dx.例1.利用定义计算定积分10解：将[0,1 n等分,分点为x,=— 1n(i=0,l,...,n)取§i =, △x; = (i=1,2,,n)01 x则一(5)x,=x=ino0ool0?机动目录上页下页返回结束
o 1 x y n i 定理1. 定理2. 且只有有限个间断点 可积的充分条件: (证明略) 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y = x i i i i f x = x 2 则 ( ) 3 2 n i =