第二章第三节隐函数和参数方程求导一、隐函数的导数二、 由参数方程确定的函数的导数o0oo1ox机动目录上页下页返回结束
第三节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第二章
一、隐函数的导数若由方程F(x,J)=0可确定是x的函数,则称此函数为隐函数由=f(x)表示的函数，称为显函数例如,-3-1=0可确定显函数=3/1-x+2-x-3x=0可确定是的函数但此隐函数不能显化隐函数求导方法：F(x,y)=0两边对x求导dF(x,J)=0 (含导数的方程)dxo000x机动目录上页下页返回结束
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求由方程y5+2-x-3x7=0确定的隐函数dyy= y(x)在x= 0 处的导数dx x = 0解：方程两边对x求导d+2y-x-3x')=0dxdydy_1-21x°=0得2+)dxdx1+21x6dydx5y4 + 21dy因x=0时y=0，故dx x = 02Oe000x机动自录上页下页返回结束
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
221在点（2,号/3）处的切线方程例2.求椭圆916解：椭圆方程两边对x求导2x0V9839 xx=2x=2416 y3V3=3/3饺12313故切线方程为V24V3x+4y-8/3=0即O10000x机动自录上页下页返回结束
例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx例3.求y=xs1(x>0) 的导数解：两边取对数，化为隐式In y= sin x ln x两边对x求导sin x=cosx·lnx +Vxsin x' = xsin*(cos x·In x +xo0o00x机动目录上页下页返回结束
例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y 1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1)对幂指函数y=u"可用对数求导法求导：In y=vlnuu'v-y'= v'lnu +uyu'yy'=u"('lnu+uy'= u" Inu.y' +vu"-l u注意：按幂函数求导公式按指数函数求导公式注：主要用于幂指函数及多个因子连乘积、商构成的函数的导数O10000?机动目录上页下页返回结束
1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y 1 = v lnu u u v + ( ln ) u u v y u v u v = + y u u v v = ln vu u v + −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 主要用于幂指函数及多个因子连乘积、商构成的 函数的导数
2）有些显函数用对数求导法求导很方便：X例如,(a>0,b>0.±1，y=ba两边取对数QIny= xln= + a[lnb-Inx]+b[lnx-Ina]b两边对x求导baaInbxxy6aaX1n1bbaxxO10000x机动自录上页下页返回结束
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(x -1)(x-2)又如，=(x-3)(x- 4)(lnA两边取对数ux-1+ln|x-2|-lnx-3|-ln x-4|1对x求导1x-2x-31X1(x - 1)(x -2)12 V (x -3)(x- 4)x-3x-XXe00x机动自录上页下页返回结束
又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u (ln ) = 2 1 ln y = 对 x 求导 2 1 = y y 4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4 + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x 4 1 − − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、由参数方程确定的函数的导数x =p(t)若参数方程可确定一个与之间的函数(y=y(t)关系, (t),y(t) 可导, 且[p'(t)]? +[y'(t)]2 ± 0, 则p'(t)0时,有dy 1dy_dydtyr'(t)dxdtdxdtdxp'(t)dtyr(t)0时,有dx dx dtdx1p'(t)dydtdydt dyy'(t)dt(此时看成x是的函数00x机动自录上页下页返回结束
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (t) 0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导,且Φ(t)±0则由它确定的函数y= f(x)可求二阶导数x = p(t),可得利用新的参数方程dy y'(t)dxp'(t)d? yQddi.dydxdx2dxdxdtdxdty"(t)p'(t)-y'(t)p"(t)p'(t)p'?(t)y"(t)p'(t)-yr'(t)p"(t) - jx-xj5p"3 (t)leD0x机动自录上页下页返回结束
若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2 t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t − = 3 x yx xy − = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束