第五章基本训练题（目的2个：熟悉矩阵的各种运算方式方法；训练矩阵运算能力）31212/2.1. 设A=2R12304（1）计算3A-B，2A+3B；(2）若X满足A+X-B，求X;（3）若Y满足（2A-Y）+2（B-Y）求 Y.=0,36634321363-2681-2128解：（1）3A-B[31200339-1-1713963[221291413844V3-2424-632A+3B-265-2512468025-36301即(2) 因 A+X=B,则X=B-A，S242+2221I1X0302-1（3）因为所以3Y-2A+2B，即(2A-Y) +2(B-Y)=0,4322S5332Y=2=2(A+B)-2C7-223330033+101022334140013132-32-322
第五章基本训练题 （目的 2 个：熟悉矩阵的各种运算方式方法；训练矩阵运算能力） 1. 设 A= 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4 ，B= 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 − − − − ， （1）计算 3A-B，2A+3B； （2）若 X 满足 A+X=B，求 X； （3）若 Y 满足（2A-Y）+2（B-Y）=0，求 Y. 解：（1）3A-B= 3 6 3 6 6 3 6 3 3 3 9 12 - 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 − − − − = 1 3 1 5 8 2 8 2 3 7 9 13 − 。 2A+3B= 2424 4242 2 4 6 8 + 12 9 6 3 6 3 6 3 0 3 0 3 − − − − = 14 13 8 7 2 5 2 5 2 1 6 5 − − 。 （2）因 A+X=B，则 X=B-A，即 X= 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 − − − − - 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4 = 3 1 1 1 4 0 4 0 1 3 3 5 − − − − − − − 。 （3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以 3Y=2A+2B，即 Y= 2 3 （A+B）= 2 3 （ 4 3 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 − − − − + 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 4 ）= 5 5 3 3 2 0 2 0 2 3 1 1 3 3 = 10 10 2 2 3 3 4 4 0 0 3 3 2 2 2 2 3 3
2.计算下列矩阵的乘积5003.2o];(2)(1) =3-10211.333[aar3ar2X2(x)a23X,x)a21a22X2(3)[123.41(4)-La31a3 JLxa32030112010 07[an1ai2ai30200111-101a23(5)a21(6)a2230200-20-00a331[a31a3203lo00-300【解】32-1 05-20-31(1)(2)3(3)(10);64-20-1[96-30(4)33aux +a2x +a3x +(a2 +a1)xx +(a3 +aa)xx +(a +a)xx, =TEaxx[5272aia12i2+ai302Y1a22a22 +a23a21(6)(5)030-4 a31a32a32+a3390003.举例说明下列命题是错误的(1)若A2=O，则A=O；（2)若A?=A，则A=O或A=E;(3)若AX=AY，A+O，则X=Y【解】
2. 计算下列矩阵的乘积 （1） 1 1 3 2 1 0 2 3 − − = ； （2） 5 0 0 1 0 3 1 2 0 2 1 3 − ； （3） 3 2 1 2 3 4 1 0 ； （4） ( ) 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a x x x x a a a x a a a x ； （5） 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 1 0 0 1 a a a a a a a a a ；（ 6） 1 2 1 0 1 0 3 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 2 3 0 0 0 3 0 0 0 3 − − − . 【解】 (1) 3 2 1 0 3 2 1 0 ; 6 4 2 0 9 6 3 0 − − − − − (2) 5 3 1 − − ; (3) (10); (4) 3 3 2 2 2 11 1 22 2 33 3 12 21 1 2 13 31 1 3 23 32 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ij i j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x = = + + + + + + + + = (5) 11 12 12 13 21 22 22 23 31 32 32 33 a a a a a a a a a a a a + + + ; (6) 1 2 5 2 0 1 2 4 0 0 4 3 0 0 0 9 − − − . 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若 2 A O= ， 则 A O= ； (2) 若 2 A A = ， 则 A O= 或 A E= ； (3) 若 AX = AY ， A O ， 则 X = Y . 【解】
0(1)以三阶矩阵为例，取 A:=0.但A±000[1 -1 0](2) 令 A=000则A?=A,但A≠0且A≠E10010110(3) 令 A=+0,Y01-10则 AX=AY,但 X+Y.4.已知线性变换xi =2yi +y2,[yi=-3z, +z2,X2 =-2yi +3y2+2y3, y2 =2zi +z3,x,=4yi+y2+5y3;(y3=-z2 +3z3利用矩阵乘法求从z1,Z2,z3到Xi,x2,X3的线性变换【解】已知120X232X==AY,xV41X3y3-311yiY :20= Bz,y20-1[y'3-4212X = AY =ABz-4-1016 从而由Z1,Z2,z3到x,X2,x3的线性变换为
(1) 以三阶矩阵为例，取 2 0 0 1 000 , 000 = = A A 0 ,但 A≠0 (2) 令 1 1 0 000 0 0 1 − = A , 则 A2=A,但 A≠0 且 A≠E (3) 令 1 1 0 2 1 0 1 1 1 2 , = , 1 0 1 1 0 = = − A Y X 0 则 AX=AY,但 X≠Y. 4. 已知线性变换 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 3 2 3 2 , 3 , 2 3 2 , 2 , 4 5 ; 3 , x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z = + = − + = − + + = + = + + = − + 利用矩阵乘法求从 1 2 3 z z z , , 到 1 2 3 x x x , , 的线性变换. 【解】已知 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 0 232 , 4 1 5 3 1 0 2 0 1 , 0 1 3 4 2 1 12 4 9 10 1 16 x y x y x y y z y z y z = = = − − = = = − − = = − − − X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由 1 2 3 z z z , , 到 1 2 3 x x x , , 的线性变换为
[X = -42 +2z2 + 23, X2 =12z/ -4z,+9z3,[x, =-10z) -22 +16z35.设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：BAB也是对称阵【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A’=A,所以(B’AB)=B’A’B=B’AB,故B'AB也为对称阵6.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是 AB-BA.【证明】已知A’=A,B'=B，若AB是对称阵，即(AB)’=AB则AB=(AB)=B' A' =BA,反之，因AB=BA,则(AB)"=B' A' =BA=AB,所以，AB为对称阵7.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵；(2)AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵【证明】因A'=A,B' =-B,故 (B)’ =B'·B' =-B· (-B)=B2;(AB-BA)' =(AB)'-(BA)' =B' A' -A' B'=-BA-A · (-B)-AB-BA;(AB+BA)"=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'B=-BA+A · (-B)=-(AB+BA)所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 2 , 12 4 9 , 10 16 . x z z z x z z z x z z z = − + + = − + = − − + 5. 设 A ，B 为 n 阶方阵，且 A 为对称阵，证明： B AB 也是对称阵. 【证明】因为 n 阶方阵 A 为对称阵，即 A′=A, 所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故 B AB 也为对称阵. 6. 设 A，B 为 n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件 是 AB=BA. 【证明】已知 A′=A,B′=B，若 AB 是对称阵，即(AB)′=AB. 则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因 AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB 为对称阵. 7. A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵；(2) AB−BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 【证明】 因 A′=A, B′= −B, 故 (B2 )′=B′·B′= −B·(−B)=B2 ; (AB−BA)′=(AB)′−(BA)′=B′A′−A′B′ = −BA−A·(−B)=AB−BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′ = −BA+A·(−B)= −(AB+BA). 所以 B2是对称矩阵，AB−BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵
8.求下列矩阵的逆矩阵[13212201(2)(1)250010001[12-1200134-2(3)(4)2305-4 -142[11【解】21101-21)(2)Lo010007111100126202411-71(4)(3)06326-321421511L 8424129.证明下列命题：(1）若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=BA*(2）若A可逆，则A"可逆且（A*）-1=（A-1）*(3)若AA'=E,则（A*)’ =(A)-1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有 cc=cc*=|cE,而A,B均可逆且同阶，故可得A|·B·BA*=ABE(B*A*)(AB)'AB(B*A)=(AB)'A(BB*)A(AB)'A|B|EA*=A| · [B(AB)
8. 求下列矩阵的逆矩阵. (1) 1 2 2 5 ； (2) 1 2 3 0 1 2 001 ； (3) 1 2 1 3 4 2 5 4 1 − − − − ； (4) 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 。 【解】 (1) 5 2 2 1 − − ; (2) 1 2 1 0 1 2 0 0 1 − − ; (3) 12 6 0 1 7 4 1 6 32 14 2 − − − − − ; (4) 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0 2 6 3 1 5 1 1 8 24 12 4 − − − − − 。 9. 证明下列命题： (1) 若 A，B 是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A* . (2) 若 A 可逆，则 A*可逆且（A*）−1=（A −1）* . (3) 若 AA′=E，则（A*）′=(A* ) −1 . 【证明】（1） 因对任意方阵 c，均有 c *c=cc*=|c|E,而 A,B 均可逆且同 阶，故可得 |A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A* ) =(AB) *AB(B*A* )=(AB) *A(BB* )A* =(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *
：A±0,B±0，：(AB)*=B*A*(2)由于 AA"=A|E，故A*=A|A-1，从而(A-I)*=|A-1(A-1)-1-A-A.于是 A*(A-1)*=A|A-1 ·[AFIA=E, 所以 (A-1)*=(A)-1(3)因AA’=E，故A可逆且A-I=A'.由(2)(A*)-1=(A-1)*,得 (A*)-1=(A' )*=(A*).10.已知线性变换[ x =2yi+2y +y3,x2 =3yi +y2 +5y3,[x, =3y +2y2 +3y3,求从变量Xi,X2,x到变量y1,y2y3的线性变换【解】已知2X2yi31X =5AY,Xy2323x3V3且/A}=1≠0,故A可逆，因而-496Y=A-'X=3-7xL32-4所以从变量xi,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换为yi =-7x -4x2 +9x3,1 y2 =6x +3x2 -7x3,(y = 3x +2x2 -4x3,11.解下列矩阵方程[12-641
∵ |A|≠0,|B|≠0, ∴ (AB) *=B*A* (2) 由于 AA*=|A|E，故 A*=|A|A −1，从而(A −1 ) *=|A −1 |(A −1 ) −1=|A| −1A. 于是 A* (A −1 ) *=|A|A −1·|A| −1A=E, 所以 (A −1 ) *=(A* ) −1 . (3) 因 AA′=E，故 A 可逆且 A −1=A′. 由(2)(A* ) −1=(A −1 ) * ,得 (A* ) −1=(A′) *=(A* )′. 10. 已知线性变换 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 2 , 3 5 , 3 2 3 , x y y y x y y y x y y y = + + = + + = + + 求从变量 1 2 3 x x x , , 到变量 1 2 3 y y y , , 的线性变换. 【解】已知 1 1 2 2 3 3 2 2 1 315 , 3 2 3 x y x y x y = = = X AY 且|A|=1≠0,故 A 可逆，因而 1 7 4 9 6 3 7 , 3 2 4 − − − = = − − Y A X X 所以从变量 1 2 3 x x x , , 到变量 1 2 3 y y y , , 的线性变换为 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 7 4 9 , 6 3 7 , 3 2 4 , y x x x y x x x y x x x = − − + = + − = + − 11. 解下列矩阵方程. (1) 1 2 4 6 1 3 2 1 − X = ；
(2)0001007002000(4)0001(0)124【解】出一F2故原方程的惟一解为-20X=A-B同理210()00010(2) X=(3) X=(4) X=(0400-21142.311012. 设A=AB=A+2B,求B.2 3]-1 【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A而223-10=-1±0[A-2E|=021-1即A-2E可逆，故
(2) 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 1 − − = − − X ； (3) 1 4 2 0 3 1 1 2 1 1 0 1 − − − X = ； (4) 0 1 0 1 0 0 0 4 3 1 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 − = − − X . 【解】(1) 令 A= 1 2 1 3 ;B= 4 6 2 1 − .由于 1 3 2 1 1 − − = − A 故原方程的惟一解为 1 3 2 4 6 8 20 . 1 1 2 1 2 7 − − − − = = = − − X A B 同理 (2) X= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; (3) X= 1 1 1 0 4 ; (4) X= 2 1 0 0 3 4 . 1 0 2 − − − 12. 设 4 2 3 1 1 0 1 2 3 − A = ， AB = A+ B2 ,求 B . 【解】由 AB=A+2B 得(A−2E)B=A. 而 2 2 3 2 1 1 0 1 0, 1 2 1 − = = − − − A E 即 A−2E 可逆，故
3224320-1-0B=(A-2E)-121 32323-84-64-31102-9-6一23 12964-2V-113.设5200[32000020451A=BX0000I02062500求(1) AB;(2)BA;(3)A-"；(4)I A 「 k（k为正整数).【解】[23 20007[1980001090130030(I) AB=(2) BA =0130460331400O522203290-20015002(3) A-l =(4) /Al* =(-1)*.003-2 LO05-714.用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.1020000312500002(1)0(2)030010000-23 0002(3)U
1 1 2 2 3 4 2 3 ( 2 ) 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 1 4 3 4 2 3 3 8 6 1 5 3 1 1 0 2 9 6 . 1 6 4 1 2 3 2 12 9 − − = − = − − − − − − − = = − − − − − − − B A E A 13. 设 5 2 0 0 3 2 0 0 2 1 0 0 4 5 0 0 0 0 7 3 0 0 4 1 0 0 5 2 0 0 6 2 = A = ,B . 求(1) AB ; (2) BA ; (3) −1 A ；(4)｜ A ｜k ( k 为正整数). 【解】 (1) 23 20 0 0 10 9 0 0 0 0 46 13 0 0 32 9 AB = ; (2) 19 8 0 0 30 13 0 0 0 0 33 14 0 0 52 22 BA = ; (3) 1 1 2 0 0 2 5 0 0 0 0 2 3 0 0 5 7 − − − − − A = ; (4) ( 1) k k A = − . 14. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵. （1） 1 2 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ； （2） 0 0 3 1 0 0 2 1 2 1 0 0 2 3 0 0 − − ; （3） 2 0 1 0 2 0 2 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0【解】（1对A做如下分块A其中3002001A =5100A,A,的逆矩阵分别为1-300A'.0011001所以A可逆，且507-20020001000230000100010同理(2)3110088110044A"=A,I-001553-20055(3)
【解】(1) 对 A 做如下分块 1 2 = A A A 0 0 其中 1 2 3 0 0 1 2 ; , 0 1 0 2 5 0 0 1 = = A A 1 2 A A, 的逆矩阵分别为 1 1 1 2 1 0 0 5 2 3 ; , 2 1 0 1 0 0 0 1 − − − = = − A A 所以 A 可逆，且 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 . 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − − − − − = = A A A 同理(2) 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 0 0 8 8 1 1 0 0 4 4 . 1 1 0 0 5 5 2 3 0 0 5 5 − − − − − = = = − A A A A A (3)
1100-1122311001222A-l=000010001010000115.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵。[1111[321][-1122110-(3)(1)(2)315-401;100[3 2 3]L 6-1 -10001解：（1）对(A|E)作行初等变换：007[32110[3 200110-1031501-1410r[2(-1)]r[2 + 1(-1]2-1 [3 2 300021001r[3 + 1(-1)][3(=)]23-210-1232o321100r[1 + 2(-2)]1-1201-4-10010-1r[1 + 3(-1)]00110011-21112r[2 +3(4)]00F2F297_3772230021003262r[1(±)]4100-120201-1-1-11001100100212[2[263-22 所以 Al=-1-111210-2
1 1 1 0 0 1 2 2 1 1 3 0 0 2 2 2 . 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 − − − − − = A 15. 利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵。 （1） 3 2 1 3 1 5 3 2 3 ； （2） 11 2 2 4 0 1 6 1 1 − − − − ； （3） 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 。 解：（1）对 ( | ) A E 作行初等变换： 3 2 1 1 0 0 3 1 5 0 1 0 3 2 3 0 0 1 [2 1( 1)] [3 1( 1)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + − 3 2 1 1 0 0 0 1 4 1 1 0 0 0 2 1 0 1 − − − [2( 1)] 1 [3( )] 2 r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − 3 2 1 1 0 0 0 1 4 1 1 0 0 0 1 1 1 0 2 2 − − − [1 3( 1)] [2 3(4)] r r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − + 3 1 0 3 2 0 2 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 1 0 2 2 − − − − r[1 2( 2)] + − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 7 9 2 3 0 0 2 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 1 0 2 2 − − − − 1 [1( )] 3 r ⎯⎯⎯⎯→ 7 2 3 1 0 0 6 3 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 1 0 2 2 − − − − 所以 A -1= 7 2 3 6 3 2 1 1 2 1 1 0 2 2 − − − −