目录第五章数理统计的基本概念及抽样分布185.4三大分布一x2t，F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布185.4.1×2分布13$5.4.2t布F分布485.4.3$5.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布6几个重要推论6$5.4.535.5总结8i
8 ¹ 1ÊÙ ênÚOÄ Vg9Ä©Ù 1 §5.4 n©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oN þÚ ©Ù . . . . . . 1 §5.4.1 χ 2©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §5.4.2 t©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §5.4.3 F©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §5.4.4 oN þÚ ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §5.4.5 AíØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §5.5 o( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 i
第五章数理统计的基本概念及抽样分布85.4三大分布一x2，t，F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布能求出抽样分布的确切而且具有简单表达式的情形并不多，一般都较难.所幸的是，在总体分布为正态情形，许多重要统计量的抽样分布可以求得，这些多与下面讨论的三种分布有密切关系.这三个分布在后面几章中有重要应用85.4.1x2分布≥x2,则称X是自由度为n的x?变量，定义5.4.1.设X1,X2,...,Xni.i.d.~N(0,1),令X=)i=1其分布称为自由度为n的×2分布，记为X～x设随机变量X是自由度为n的x2随机变量，则其概率密度函数为r号-le-，>0,22(号)gn(c) =(5.4.1)0,≤0注5.4.1．若记I(α,入)表示形状参数为α、刻度参数为入的Gamma分布，其密度函数如下尚aa-1e-z, >0,p(r;Q,>) =10≤0.则自由度为n的x?分布与Gamma分布的关系为：X=x?~I(n/2,1/2).我们也可以利2用这一关系给出x2分布的定义：“若随机变量X的概率密度函数为r(n/2,1/2)，则称X为服从自由度为n的x2分布”x的密度函数gm(c)形状如图5.4.1x密度函数的支撑集(即使密度函数为正的自变量的集合)为(0,+oo)，由图5.4.1可见当自由度n越大，x2的密度曲线越趋于对称，n越小，曲线越不对称.当n=1,2时曲线是单调下降趋于0.当n>3时曲线有单峰，从0开始先单调上升，在一定位置达到峰值，然后单下降趋向于01
1ÊÙ ênÚOÄ Vg9Ä©Ù §5.4 n©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oN þÚ ©Ù U¦ÑÄ©Ù( äk{üLª/¿Øõ,ÑJ. ¤3´,3 oN©Ù/, NõÚOþÄ©Ù±¦,ù õe¡?Øn« ©Ùk'X. ùn©Ù3¡AÙ¥kA^. §5.4.1 χ 2©Ù ½Â 5.4.1. X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(0, 1),-X = Pn i=1 X2 i ,K¡X´gdÝnχ 2Cþ, ٩١gdÝnχ 2©Ù, PX ∼ χ 2 n . ÅCþX´gdÝnχ 2ÅCþ, KÙVÇݼê gn(x) = 1 2 n 2 Γ( n 2 ) x n 2 −1 e − x 2 , x > 0, 0, x ≤ 0. (5.4.1) 5 5.4.1. ePΓ(α, λ)L«/Gëêα!ÝëêλGamma©Ù, ÙݼêXe p(x; α, λ) = ( λ α Γ(α) x α−1 e −λx, x > 0, 0, x ≤ 0. KgdÝnχ 2©ÙGamma©Ù'X: X = Pn i=1 X2 i ∼ Γ(n/2, 1/2). ·±| ^ù'XÑχ 2©Ù½Â: “eÅCþXVÇݼêΓ(n/2, 1/2), K¡X ÑlgdÝnχ 2©Ù”. χ 2 nݼêgn(x)/GXã5.4.1 . χ 2 nݼê| 8(=¦Ý¼êgCþ8Ü)(0, +∞), dã5.4.1 gdÝn, χ 2 n ݪué¡, n, Øé¡. n = 1, 2´ üNeüªu0. n ≥ 3kü¸, l0m©küNþ, 3½ ¸, , üeüªu0. 1
1g,(x)20n=1S1On=481=10n=20S00510152025303540图5.4.1x的密度函数gn(a)形状图个g(x)-X(α)X图5.4.2x的上侧分位数若X～xn,记P(X>c)=α，则c=x(α)称为x分布的上侧α分位数，如图5.4.2所示当α和n给定时可查表求出(α）)之值，如x(0.01）=23.209，x(0.05）=12.592等X2变量具有下列性质：(1)设随机变量X~x则有E(X)=n,Var(X)=2n.(2)设Z1~X，Z2～X，且Z和Z2独立，则Z1+Z2～X1+n2我们从X?分布的定义出发给出一个简单证明：由定义Z1=X?+..+X2，此处X1,X2,***,Xni.i.d.~N(0,1),同理Z2=Xn1+1+..+X2+n2，此处Xni+1,Xni+2,**,Xni+n i.i.d.~N(0,1),2
5 10 15 20 25 30 35 40 0.05 0.1 0.15 0.2 gn(x) x n = 1 n = 4 n = 10 n = 20 ã 5.4.1 χ 2 nݼêgn(x)/Gã α χn 2 (α) x gn(x) ã 5.4.2 χ 2 nþýα© ê eX ∼ χ 2 n ,PP(X > c) = α, Kc = χ 2 n (α)¡χ 2 n©Ùþýα© ê,Xã5.4.2¤«. αÚn½L¦Ñχ 2 n (α), Xχ 2 10(0.01) = 23.209, χ2 5 (0.05) = 12.592 . χ 2Cþäke5: (1) ÅCþX ∼ χ 2 nKkE(X) = n, V ar(X) = 2n. (2) Z1 ∼ χ 2 n1 , Z2 ∼ χ 2 n2 , Z1ÚZ2Õá, KZ1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . ·lX2©Ù½ÂÑuÑ{üy²: d½ÂZ1 = X2 1 + · · · + X2 n1 , d? X1, X2, · · · , Xn1 i.i.d. ∼ N(0, 1), ÓnZ2 = X2 n1+1 + · · · + X2 n1+n2 , d? Xn1+1, Xn1+2, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1), 2
再由Z,和Z2的独立性可知Xi,X2,...,Xn,Xn+1,...,Xn+ni.i.d.~N(o,1)因此Z+ + Z2 = X+.+ X2 + X1+1 +..+ X2n1+n2按定义即有Zi+Z2～x1+n2$5.4.2t分布定义5.4.2.设随机变量X～N(0,1),Y～x，且X和Y独立，则称T=VY/n为自由为n的t变量，其分布称为由为n的t分布，记为T～tn.设随机变量T～tn,则其密度函数为nt!r(")tn(r) = T(%) Vn元(5.4.2)1-188n.个t(x)N(0, 1)(t-(x)ot1o(x)t(0)t(x)20-4-3-2-10123图5.4.3tn的密度函数tn(c)形状图tn的密度函数与标准正态分布N(0,1)密度很相似，它们都是关于原点对称，单峰偶函数，在a=0处达到极大.但tn的峰值低于N(0,1)的峰值，tn的密度函数尾部都要比N(0,1)的两侧尾部粗一些.如图5.4.3所示.容易证明：limtn(a）=(c),此处(a)是N(0,1)变量的密度函数3
2dZ1ÚZ2Õá5 X1, X2, · · · , Xn1 , Xn1+1, · · · , Xn1+n2 i.i.d. ∼ N(0, 1). Ïd Z1 + Z2 = X2 1 + · · · + X2 n1 + X2 n1+1 + · · · + X2 n1+n2 . U½Â=kZ1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . §5.4.2 t©Ù ½Â 5.4.2. ÅCþX ∼ N(0, 1), Y ∼ χ 2 n , XÚY Õá, K¡ T = X p Y /n gdntCþ, ٩١dnt©Ù,PT ∼ tn. ÅCþT ∼ tn,KÙݼê tn(x) = Γ(n+1 2 ) Γ(n 2 ) √ nπ 1 + x 2 n − n+1 2 , −∞ < x < ∞ (5.4.2) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 x tn(x) N(0, 1)(t∞(x)) t10(x) t5(x) t1(x) ã 5.4.3 tnݼêtn(x)/Gã tnݼêIO©ÙN(0, 1)Ýéq, §Ñ´'u:é¡, ü¸ó¼ ê, 3x = 0?4. tn¸$uN(0, 1)¸, tnݼêÜÑ'N(0, 1) üýÜo . Xã5.4.3¤«. N´y²: limn→∞ tn(x) = ϕ(x),d?ϕ(x)´N(0, 1)Cþ ݼê. 3
^t;(x)α/2al2/1ta(a/2)ta(a/2)图5.4.4tn的双侧α分位数若T～tn,记P(T>c)=α,则c=tn(α/2)为自由度为n的t分布的双侧α分位数(如图5.4.4所示).当给定α时，tn(α)，tn(α/2)等可通过查表求出.例如t12(0.05)=1.782,tg(0.025)=2.262等t分布是英国统计学家W.S.Gosset在1908年以笔名Student发表的论文中提出的，故后人称为“学生氏（Student）分布”或“t分布”t变量具有下列的性质：(1)若随机变量T～tn,则当n≥2时，E(T)=0.当n≥3时，Var(T)=n=2(2)当n→αo时,t变量的极限分布为N(0,1)$5.4.3F分布定义5.4.3.设随机变量X~×m，Y~X2且X和Y独立，则称F=X/mY/n为自由度分别是m和n的F变量，其分布称为自由度分别是m和n的F分布，记为F～Fm,n：若随机变量Z～Fm.n，则其密度函数为r(mtn)mn-1(n+mr)-"，>0,（岁）F(岁)(5.4.3)fm,n(r) =(0,其它.自由度为m，n的F分布的密度函数如图5.4.5.注意F分布的自由度m和n是有顺序的，当m≠n时若将自由度m和n的顺序颠倒一下，得到的是两个不同的F分布.图5.4.5中4
x t n(x) α 2 α 2 − tn(α 2) tn(α 2) ã 5.4.4 tnVýα© ê eT ∼ tn,PP(|T| > c) = α,Kc = tn(α/2)gdÝnt©ÙVýα© ê(X ã5.4.4¤«). ½α, tn(α), tn(α/2) ÏLL¦Ñ. ~Xt12(0.05) = 1.782, t9(0.025) = 2.262 . t©Ù´=IÚOÆ[W.S. Gosset 31908c±)¶Student uLØ©¥JÑ, 0, 0, Ù§. (5.4.3) gdÝm, nF©ÙݼêXã5.4.5 . 5¿F©ÙgdÝmÚn´k^S , m 6= neògdÝmÚn^S6e, ´üØÓF©Ù. ã5.4.5¥ 4
Fm,n(x)F10. (x)F10,50(x)8'09'0F 10.10(x)4F10.4(x)?112034图5.4.5Fmn的密度函数fm.n(c）形状图Fm,n(x)αXFm.n(α)图5.4.6Fm.n的上侧分位数给出了几个不同自由度的密度函数的曲线：由图5.4.5可见对给定m=10，n取不同值时fm.n(c)的形状，我们看到曲线是偏态的，n越小偏态越严重若F～Fm.n,记P(F>c)=Q，则c=Fm.n(α)称为F分布的上侧α分位数(见图5.4.6).当m，n和α给定时，可以通过查表求出Fm.n(α)之值，例如F4.10(0.05)=3.48，Fi10.15(0.01)=3.80等.这在区间估计和假设检验问题中常常用到F变量具有下列的性质：(1) 若Z ~ Fm,n,则1/Z ~ Fn,m(2)若T~ tn,则T2 ~ Fi,n(3) Fm,n(1 - α) = 1/ Fn,m(α)以上性质中(1)和(2)是显然的，(3)的证明不难,留给读者作为练习.尤其性质(3)在求5
0 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x F m,n(x) F10,∞(x) F10,50(x) F10,10(x) F10,4(x) ã 5.4.5 Fm,nݼêfm,n(x)/Gã x F m,n(x) α F m,n(α) ã 5.4.6 Fm,nþýα© ê Ñ AØÓgdÝݼê. dã5.4.5 é½m = 10, nØÓ fm,n(x)/G, ·w´ , n î. eF ∼ Fm,n,PP(F > c) = α, Kc = Fm,n(α)¡F©Ùþýα© ê(ã5.4.6). m, nÚα½, ±ÏLL¦ÑFm,n(α), ~XF4,10(0.05) = 3.48, F10,15(0.01) = 3.80 . ù3«mOÚbu¯K¥~~^. FCþäke5: (1) eZ ∼ Fm,n,K1 Z ∼ Fn,m. (2) eT ∼ tn,KT 2 ∼ F1,n (3) Fm,n(1 − α) = 1 Fn,m(α) ±þ5¥(1)Ú(2)´w,, (3)y²ØJ,3ÖööS. cÙ5(3)3¦ 5
区间估计和假设检验问题时会常常用到．因为当α为较小的数,如α=0.05或α=0.01.m，n给定时,从已有的F分布表上查不到Fm，n(1-0.05)和Fm.n(1-0.01)之值，但它们的值可利用性质(3)求得，因为Fnm(0.05)和Fn.m(0.01）是可以通过查F分布表求得的85.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布为方便讨论正态总体样本均值和样本方差的分布，我们先给出正态随机变量的线性函数的分布.1.正态变量线性函数的分布设随机变量Xi,，Xi.i.d.~N(a,2)，C1,C2,,Cn为常数，则有T-EeX ~ N(aEe,oEk=1k=特别，当ci=·.·=Cn=1/n,即T=ZXi=X时，有X ~ N(a,o? /n)2.正态变量样本均值和样本方差的分布下述定理给出了正态变量样本均值和样本方差的分布和它们的独立性定理5.4.1.设X1,X2,,Xni.i.d.~N(a,o2),X=1≥X和S2=≥(X,-X)2分别为样本均值和样本方差，则有(1) X~ N(a, 2);(2) (n - 1)S2/α2 ~ xn=1i(3）X和S2独立定理的证明超出我们的要求，只要求记住这一结论85.4.5几个重要推论下面几个推论在正态总体区间估计和假设检验问题中有着重要应用推论5.4.1.设X1,X2，.，Xn相互独立相同分布(i.i.d.）)~N(a,α2)，则T= Vr(-α) ~ tn-1:s6
«mOÚbu¯K¬~~^. Ïαê,Xα = 0.05½α = 0.01, m, n½,l®kF©ÙLþØFm,n(1 − 0.05)ÚFm,n(1 − 0.01), § |^5(3)¦, ÏFn,m(0.05)ÚFn,m(0.01) ´±ÏLF©ÙL¦. §5.4.4 oN þÚ ©Ù B?ØoN þÚ ©Ù, ·kÑÅCþ5 ¼ê©Ù. 1. Cþ5¼ê©Ù ÅCþX1, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ), c1, c2, · · · , cn ~ê, Kk T = Xn k=1 ckXk ∼ N a Xn k=1 ck, σ2Xn k=1 c 2 k AO,c1 = · · · = cn = 1/n,=T = 1 n Pn i=1 Xi = X¯,k X¯ ∼ N(a, σ2 n). 2. Cþ þÚ ©Ù eã½nÑ Cþ þÚ ©ÙÚ§Õá5. ½n 5.4.1. X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ), X¯ = 1 n Pn i=1 XiÚS 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X¯) 2©O þÚ ,Kk (1) X¯ ∼ N(a, 1 n σ 2 ); (2) (n − 1)S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 ; (3) X¯ÚS 2Õá. ½ny²Ñ·¦, ¦P4ù(Ø. §5.4.5 AíØ e¡AíØ3oN«mOÚbu¯K¥kXA^. íØ 5.4.1. X1, X2, · · · , XnpÕáÓ©Ù(i.i.d.) ∼ N(a, σ2 ), K T = √ n(X¯ − a) S ∼ tn−1. 6
证：由注5.4.3可知X~N(a,g2/n)，将其标准化得Vn(X-a)/g~N(0,1).又(n-1)S2/2~x2-1，即s2/2～x2-/(n-1)，且X和S2独立，按定义有T= V-/- (-) ~ tn-1sVs2/02推论5.4.2.设Xi,X2,..,Xm ii.d.~N(a1,o),Yi,Y2,..,Yni.i.d.~N(a2,),且假定o2=03=g?,样本X1,X2,.，Xm与Yi,Y2.*,Yn独立，则T= (区-) -(a1- a2),mn~tn+m-2SwNn+m此处(n+m-2)S2 = (m-1)S2 +(n-1)S, 其中11S?=(X - X)2,S=Z(yj -Y)2.m-11i=1j=1证：由注5.4.3可知×~N(a,c2/m),～N(a2,a2/n)，故有-~N(a1-a2,（+)a2)=N(a1-a2,ntm。2).将其标准化得X-- (ai- a2)mn(5.4.4)~ N(0, 1)a/m+n又(m-1)S/o2~xm-1，(n-1)S/α2~Xn-1,再利用x2分布的性质可知(m -1)SI +(n- 1)S& ~ Xx+m=2(5.4.5)g2再由(5.4.4)和(5.4.5)中(X,Y）与(SS)相互独立，由定义可知(X - Y) - (a1 - a2)(m-1)S? + (n -1)S2mnT-an+m/α2(n+m-2)(X-Y) - (ai - a2)nmtn+m-2.--Swn+m推论5.4.3.设X1,X2,.,Xmi.i.d.~N(a1,),Yi,Y2,.,Yni.i.d.~N(a2,o2)，且合样本X1.X2...Xm和Y..Y2.·.·.Yn相互独立则ST2F=~Fm-1,n-1S此处S和S定义如推论5.4.2所述7
y: d55.4.3X¯ ∼ N(a, σ2/n), òÙIOz √ n(X¯ −a)/σ ∼ N(0, 1). q(n−1)S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 , =S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 /(n − 1), X¯ÚS 2Õá, U½Âk T = √ n(X¯ − a)/σ p S2/σ2 = √ n(X¯ − a) S ∼ tn−1. íØ 5.4.2. X1, X2, · · · , Xm i.i.d. ∼ N(a1, σ2 1 ), Y1, Y2, · · · , Yn i.i.d. ∼ N(a2, σ2 2 ), b ½σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 , X1, X2, · · · , Xm Y1, Y2, · · · , YnÕá, K T = (X¯ − Y¯ ) − (a1 − a2) Sw · r mn n + m ∼ tn+m−2, d?(n + m − 2)S 2 w = (m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2 , Ù¥ S 2 1 = 1 m − 1 Xm i=1 (Xi − X¯) 2 , S2 2 = 1 n − 1 Xn j=1 (Yj − Y¯ ) 2 . y: d55.4.3X¯ ∼ N(a, σ2/m), Y¯ ∼ N(a2, σ2/n), kX¯ −Y¯ ∼ N a1−a2,( 1 m + 1 n )σ 2 = N a1 − a2, n+m mn σ 2 . òÙIOz X¯ − Y¯ − (a1 − a2) σ r mn m + n ∼ N(0, 1). (5.4.4) q(m − 1)S 2 1 /σ2 ∼ χ 2 m−1 , (n − 1)S 2 2 /σ2 ∼ χ 2 n−1 , 2|^χ 2©Ù5 (m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2 σ 2 ∼ χ 2 n+m−2 . (5.4.5) 2d(5.4.4)Ú(5.4.5)¥(X, ¯ Y¯ ) (S 2 1 , S2 2 )pÕá, d½Â T = (X¯ − Y¯ ) − (a1 − a2) σ r mn n + m s (m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2 σ 2(n + m − 2) = (X¯ − Y¯ ) − (a1 − a2) Sw r nm n + m ∼ tn+m−2. íØ 5.4.3. X1, X2, · · · , Xm i.i.d. ∼ N(a1, σ2 1 ), Y1, Y2, · · · , Yn i.i.d. ∼ N(a2, σ2 2 ), Ü X1, X2, · · · , XmÚY1, Y2, · · · , YnpÕá, K F = S 2 1 S 2 2 · σ 2 2 σ 2 1 ∼ Fm−1,n−1, d?S 2 1ÚS 2 2½ÂXíØ5.4.2¤ã. 7
证：由注5.4.3可知(m-1)S%/o㎡~xm-1，（n-1)S%/o2～xm-1，且二者独立，由F分布的定义可知(m-1)S /(m - 1) S2.%~ Fm-1,n-1aF:n- /(n - 1)Sa证毕下列这一推论给出了服从指数分布随机变量的线性函数的分布与×2分布的关系.这在指数分布总体的区间估计和假设检验问题中有重要应用推论5.4.4设X1,X2，*Xni.i.d.服从指数分布：f(a,入)=入e-rIz>0)，则有T2入nX=2/X,~x2n.i=1证：首先证明2入X1～x2.因为2XAe-ArdrF(g) = P(2)X10f(y) = F(y) =当y≤0.0因此f(y）即为自由度为2的x2密度，即2>X1～x再利用x分布的性质(3),2入X；～x2，=1,2,，n；又它们相互独立，故有2入X,=1X2n.85.5总结数据在使用前要注意采用有效的方法收集数据，如设计好抽样方案，安排好试验等等.只有有效的收集了数据，才能有效地使用数据，开展统计推断工作获得数据后，根据问题的特点和抽样方式确定抽样分布，即统计模型，基于统计模型，统计推断问题可以按照如下的步骤进行1.确定用于统计推断的合适统计量2.寻求统计量的精确分布；在统计量的精确分布难以求出的情形，可考虑利用中心极限定理或其它极限定理找出统计量的极限分布8
y: d55.4.3(m − 1)S 2 X/σ2 1 ∼ χ 2 m−1 , (n − 1)S 2 Y /σ2 2 ∼ χ 2 n−1 , öÕá, dF©Ù ½Â F = (m−1)S 2 X σ 2 1 (m − 1) (n−1)S 2 Y σ 2 2 (n − 1) = S 2 X S 2 Y · σ 2 2 σ 2 1 ∼ Fm−1,n−1. y. eùíØÑ Ñlê©ÙÅCþ5¼ê©Ùχ 2©Ù'X. ù 3ê©ÙoN«mOÚbu¯K¥kA^. íØ 5.4.4. X1, X2, · · · , Xn i.i.d.Ñlê©Ù: f(x, λ) = λe−λxI[x>0], Kk 2λnX¯ = 2λ Xn i=1 Xi ∼ χ 2 2n . y: Äky²2λX1 ∼ χ 2 2 . Ï F(y) = P(2λX1 0 0 y ≤ 0. Ïdf(y)=gdÝ2χ 2Ý, =2λX1 ∼ χ 2 2 . 2|^χ 2©Ù5(3), 2λXi ∼ χ 2 2 , i = 1, 2, · · · , n; q§pÕá, k2λ Pn i=1 Xi ∼ χ 2 2n . §5.5 o( êâ3¦^c5¿æ^k{Â8êâ, XOÐÄY, SüÐÁ . kkÂ8 êâ, âUk/¦^êâ, mÐÚOíäó. ¼êâ, â¯KA:ÚĪ(½Ä©Ù, =ÚO . ÄuÚO ., ÚOíä¯K±UìXeÚ½?1: 1. (½^uÚOíäÜ·ÚOþ; 2. ϦÚOþ°(©Ù; 3ÚOþ°(©ÙJ±¦Ñ/, Ä|^¥%4 ½n½Ù§4½néÑÚOþ4©Ù. 8
3.基于该统计量的精确分布或极限分布，求出统计推断问题的精确解或近似解，4.根据统计推断结果对问题作出解释其中第二步是最重要，但也是最困难的一步.统计三大分布及正态总体下样本均值和样本方差的分布，在寻求与正态变量有关的统计量精确分布时，起着十分重要作用.尤其在后面两章中求区间估计和假设检验问题时可以看得十分清楚学习统计无须把过多时间花在计算机上，应当更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确理解和应用上．国内外著名的统计软件包：SAS，SPSS，S-PLUS，MATLABSTATA等，都可以让你快速、简便地进行数据处理和分析9
3. ÄuTÚOþ°(©Ù½4©Ù, ¦ÑÚOíä¯K°()½Cq). 4. âÚOíä(Jé¯KÑ)º. Ù¥1Ú´, ´(JÚ. ÚOn©Ù9oNe þ Ú ©Ù, 3ϦCþk'ÚOþ°(©Ù, åX©^. c Ù3¡üÙ¥¦«mOÚbu¯K±w©Ù. ÆSÚOÃLrLõms3OÅþ, Ak/rm^3Ä Vg!{ n(n)ÚA^þ. IS ͶÚO^: SAS, SPSS, S-PLUS, MATLAB, STATA , ѱ4\¯!{B/?1êâ?nÚ©Û. 9