《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 矩阵的相似 5-3 矩阵的对角化

由前一节知道节个能和对角矩阵相似的矩阵具有良好的运算性质，但遗憾感的是，并不是每一个矩阵都能和一个对角矩阵相似.下面我们讨论的主要问题是：对n阶方阵A，寻求一个相似变换矩阵P，使得PAP-1为对角矩阵，该过程称为把方阵A对角化.当然首先讨论方阵可对角化的条件，再给出方阵对角化的一.方阵的对角化问题步骤二.实对称矩阵的对角化

由前一节知道第3, 节一个能和对角矩阵相似的矩阵 矩阵的对角化 具有良好的运算性质, 但遗憾的是, 并不是每一个矩 阵都能和一个对角矩阵相似. 下面我们讨论的主要问 题是: 对n阶方阵A, 寻求一个相似变换矩阵P , 使得 PAP−1为对角矩阵, 该过程称为把方阵A对角化. 当然 首先讨论方阵可对角化的条件, 再给出方阵对角化的 步骤. 一 . 方阵的对角化问题 二. 实对称矩阵的对角化

一.方阵的对角化问题假设n阶方阵可对角化，即存在可逆矩阵P，使PAP-1为对巍崩其列隔蟹论P具有什么特点.P=(P,P2,..,Pn)则由P-1AP=-diag(21，22，..，2n），得AP=PA，即A(P,P2,...,,)=(Pi,P2,..,Pn)

一 . 方阵的对角化问题 假设n阶方阵可对角化, 即存在可逆矩阵P  使PAP−1 为对角阵. 下面我们来讨论P具有什么特点. 把用其列向量表示为 1 2 ( , , , ) P = p p pn 则由 P－1AP =L=diag(l1 , l2 , ., ln ) 得 AP = PL 即             1 2 1 2 1 2 λ λ ( , , , ) = ( , , , ) λ n n n A p p p p p p

A(,P2,.,,)=(αP,22P2,..,n)于是有(i=1,2,..,n)Ap,=2,P,可见入，是A的特征值，而P的列向量P，就是A的对应于特征值入，的特征向量p.因为P是可逆的，所以P的n个列向量线性无关，故知P有n个线性无关的特征向量反之，若n阶方阵A恰好有n个特征值，可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量即可构成矩阵P，使得AP-PA.当方阵A这n个特征向量线性无关时，矩阵A可逆，于是我们有P-1AP-A，即方阵A可相似对角化

1 2 1 1 2 2 ( , , , ) = (λ , λ , , λ ) A p p p p p p n n n 于是有 = λ ( = 1,2, , ) Ap p i n i i i 可见 li 是A的特征值 而P的列向量 pi 就是A的对应于 特征值li的特征向量pi . 因为P是可逆的, 所以P的n 个 列向量线性无关, 故知P有n个线性无关的特征向量. 反之 若n阶方阵A恰好有n个特征值, 可对应地求 得n个特征向量 这n个特征向量即可构成矩阵P使得 AP=PL. 当方阵A这n个特征向量线性无关时, 矩阵A可 逆, 于是我们有P-1AP=L, 即方阵A可相似对角化

定理1一个n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量推论若n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A可对角化当n阶方阵的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化.但属于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，，则A也可对角化

定理1 一个n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要 条件是它有n个线性无关的特征向量. 推论 若n阶方阵A的n个特征值互不相等, 则A可 对角化. 当n阶方阵的特征方程有重根时 就不一定有n个 线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化. 但属于A 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于 该特征值的重数, 则A也可对角化

定理2n阶矩阵A可对角化的充要条件是对于A的每一个k，重特征值2，有r（A-入E）=n-k例1设A=，问x为何值时，矩阵A能对角化？解由=-(2-1)2（2+1)IA-2EI-1-2文得2，=-1,入2=23=1

定理2 n 阶矩阵A可对角化的充要条件是对于A的 每一个 ki 重特征值 li 有 r (A- liE) = n-ki . 例1 设           0 0 1 = 1 1 1 0 0 A x , 问x为何值时, 矩阵A能对角化？ 解 由 2 -λ 0 1 | - λ |= 1 1- λ = -(λ -1) (λ +1) 1 0 -λ A E x 得 1 2 3 λ = -1, λ = λ = 1

对应单根入1=-1，可求得r(A+E)-2=3-1.故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应2重根23-1有：r(A-E)=3-2-1又A-E:因此，当x=-1时矩阵A可对角化可对角化的条件：1.n阶方阵A的n个特征值互不相等；2.每一个k，重特征值2，有r(A-入E)=n-k

对应单根l1= -1 可求得 r(A+E)=2=3-1. 故矩阵A可 对角化的充分必要条件是对应2重根l2,3=1有： r (A-E) = 3-2 =1 又             →         -1 0 1 1 0 -1 = 1 0 0 0 +1 1 0 -1 0 0 0 r A - E x x 因此, 当 x = -1时矩阵A可对角化. 可对角化的条件: 1. n阶方阵A的n个特征值互不相等; 2. 每一个 ki 重特征值 li 有r(A- liE)=n-ki

N6国例2矩阵-3-5A=-3-6能否对角化？若能，将其对角化.并求A100解由4-元6=-(a-1)(a+2)A-2E=-3-5--61-元-3得入，=-2，入2=入，=1当入=-2时，解方程组（A+2E)x-0.由66A+2E--3国福-3

例2 矩阵           − − = − − 3 6 1 3 5 0 4 6 0 A 能否对角化？若能, 将其对角化. 并求A100 . 解 由 ( 1) ( 2) 0, 3 6 1 3 5 0 4 6 0 | | 2 = − − + = − − − − − − − − = l l l l l 由于 A lE 得 λ1 2 3 = -2, λ = λ = 1 . 当l1= -2时 解方程组(A+2E)x=0. 由             →         6 6 0 1 0 1 + 2 = -3 -3 0 0 1 -1 , -3 -6 3 0 0 0 A E

P.1得基础解系当入2.3=1时，解方程组（A-E)x-0.由3。oA-E--3国-3(-1)得基础解系P2-

          1 -1 = 1 . 1 p 得基础解系             →         3 6 0 1 2 0 = -3 -6 0 0 0 0 , -3 -6 0 0 0 0 A - E                     2 3 -2 0 = 1 , = 0 . 0 1 得基础解系 p p 当l2,3= 1时 解方程组(A-E)x=0. 由

显然，A有三个线性无关的特征向量：P1,P2,P3，所以A可对角化以特征向量：P1,P2,P3为列得可逆矩阵P，即且有939P-IAP-

显然, A有三个线性无关的特征向量：p1 , p2 , p3 , 所以A可对角化. 以特征向量：p1 , p2 , p3 为列得可逆矩阵P, 即 - - - -                     -1 -1 -2 0 1 2 0 = 1 1 0 = 1 1 0 1 0 1 1 2 1 P , P - - - -                               -1 1 2 0 4 6 0 -1 -2 0 -2 = 1 1 0 -3 -5 0 1 1 0 = 1 . 1 2 1 -3 -6 1 1 0 1 1 P AP 且有

由于P-1AP=4，则P-1A100P=4100，故A100=PA100P-1-2100+2-2101+22100-12101-102100-12101-2

由于 P－1AP =L , 则P－1A100P =L100 , 故 100 100 -1 A = PΛ P                               100 -1 -2 0 2 1 2 0 = 1 1 0 1 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 -2 1           100 101 100 101 100 101 -2 + 2 -2 + 2 0 = 2 -1 2 -1 0 . 2 -1 2 - 2 1