第1节矩阵及其运算一、矩阵的概念二、几类特殊矩阵三、矩阵的运算
第1节 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 二、几类特殊矩阵 三、矩阵的运算
引例1设有线性方程组2x+X2=4Xi-3x2=2对方程组的研究可转化为对4该数表的研究2一
= + = 3 2 2 4 1 2 1 2 x x x x － 引例1 设有线性方程组 1 - 3 2 2 1 4 对方程组的研 究可转化为对 该数表的研究.
B引例2A,B.CD四城市间的单向航线如右图所示：到站BDACD001A发站BC000011D0010
引例2 A,B,C,D四城市间的 单向航线如右图所示: A B C D 1 1 1 1 1 1 发 站 A B C D 到站 A B C D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
一、矩阵的概念定义1由m×n个数a(i-1,2,..,m;j-1,2,..,n)排成的m行n列的矩形数表aula21a222A=amlam2...amm称为一个m×n矩阵，记为A=(ai）mxn
一、矩阵的概念 定义1 由m×n个数aij (i=1, 2, ., m; j=1, 2, ., n) 排成的m行n列的矩形数表 11 12 1 21 22 2 1 2 = n n m m mn a a a a a a A a a a 称为一个m×n矩阵, 记为A=(aij )m×n
二、几类特殊矩阵aan·(a1,a2,.,an)anXI（行矩阵）（列矩阵）（零矩阵）
二、几类特殊矩阵 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n (零矩阵) (a1 a 2 an ) (行矩阵) 1 2 n a a a (列矩阵)
a.1a21az1aan（n阶方阵）（上三角矩阵）（下三角矩阵）
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a (n阶方阵) 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a (上三角矩阵 ) 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a (下三角矩阵 )
A=diag（ay,22a）（对角矩阵）（n阶单位阵），用E，或E表示
1 2 0 0 0 0 0 0 n λ λ λ =diag(1 2 n ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (n阶单位阵) ，用En或E表示. (对角矩阵)
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：设A=(a）与B=(b）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aj=b, (i-1,2,...,m; j-1, 2,...,n)则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
它们的对应元素相等 即 aij = bij (i=1 2 m j=1 2 n) 则称矩阵A与矩阵B相等 记作A=B 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 矩阵相等：设A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵 并且
三、矩阵的运算1、矩阵的加法定义2设有两个mxn矩阵A=(a）和B=(b，），矩阵A与B的和记为A+B，规定为A+B-(a+b,），即aui+bi ai2+b2...ain+bna2i+b21 a22+b22 ... a2n+bnA+B=(am+bmam2+bm2...amm+bmm注 只有同型矩阵才能相加
三、矩阵的运算 定义2 设有两个mn矩阵A=(aij)和B=(bij) 矩阵 A与B的和记为A+B 规定为A+B=(aij+bij) 即 + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1、矩阵的加法 注 只有同型矩阵才能相加
负矩阵：设矩阵A-(a），记-A=（-a），-A称为矩阵A的负矩阵显然有A+(-A)=O由此可规定矩阵的减法：A-B=A+(-B)
负矩阵：设矩阵A=(aij) 记-A=(-aij) -A称为矩阵 A的负矩阵 由此可规定矩阵的减法： A-B=A+ (-B) 显然有A+(−A)=O