
矩阵第五章5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块
第五章 矩阵 5.1 矩阵的运算 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.3 矩阵的分块

宇宙之大,粒子之微、火箭之速、化工之巧地球之变、生物之迷、日用之繁,无处不用数学。华罗庚一
宇宙之大,粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁,无处不 用数学。 —— 华罗庚

5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置二、教学目的1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质,并能熟练地对矩阵进行运算。2.掌握转置矩阵及其运算性质。3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质,转置矩阵及其运算性质
5.1 矩阵的运算 一、内容分布 5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置 二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性 质,并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。 三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质,转置矩阵及其运算性质

5.1.1认识矩阵设F是数域,用F的元素α,排成的m行n列的数表aaIna21a22a2naaamlm2mn称为F上m×n矩阵,简写:A=(ai,)mxn或A=(ai)矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵...,矩阵的应用非常广泛
5.1.1 认识矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a 称为F上 mn 矩阵, 简写: ( ) ( ) A ai j mn 或A ai j 矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩 阵., 矩阵的应用非常广泛. 设F是数域, 用F的元素 aij 排成的m行n列的数表

5.1.2矩阵的运算中定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为kajka12kainajlaina2ka21kaznka22a21a2na22kA=k..·++.kakakaaaam2m2mlmlmnmn定义2(矩阵的加法)给定两个mxn矩阵bbaila12ain12nba2Dan02a22a21a2n...B二A二........b6baaam2mlmlm2mnmn
5.1.2 矩阵的运算 定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka 定义2(矩阵的加法) 给定两个 m n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b B b b b

A和B加法定义为ai2 +b2ai+buain+b,ina2i+b21a22+b22a2n+banA+B=+bLam+bm+bam2amlm2mmm定义3(矩阵的乘法)给定一个m×n矩阵和一个n×l矩阵b2biaila12ain03b3a21a22aanB=-...67b6aaan2mlm2nlmn
A和B加法定义为: 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b 定义3(矩阵的乘法)给定一个 m n 矩阵和一个 n l 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b

A和B的乘法定义为"WWWa,bi2a,buarbila2,b2azbia2,baAB=Wnbilamb,mibami11=注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型:相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?
A和B的乘法定义为 n i m i i l n i m i i n i m i i n i i i l n i i i n i i i n i i i l n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两 个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果 的形状?

5.1.3矩阵的运算性质矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A,B,C均为F上的矩阵,k,1为数域F中的数)注意:矩阵的乘法不满足交换律,消去律:A±O.AB=AC=B=C也不满足满足:AB=BA的两个矩阵称为可交换的k(IA)=(k)A数乘结合律(5)酒(6)数乘分配律k(A+B)=kA+kB(k+D)A=kA+lA乘法结合律(AB)C=A(BC)(7)k(AB)=(kA)B = A(kB)(8)乘法分配律AB+C)=AB+BC(B+C)A= BA+CA
5.1.3 矩阵的运算性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A, B,C 均为F上的矩阵,k,l为数域F中的数) (1) 加法交换律 A B B A (2) 加法结合律 (A B) C A (B C) (3) 零矩阵 A 0 A (4) 负矩阵 A (A) 0 (5) 数乘结合律 k(lA) (kl)A (6) 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA (7) 乘法结合律 (AB)C A(BC) k(AB) (k A)B A(k B) (8) 乘法分配律 A(B C) AB BC (B C)A BA CA 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 消去律: A 0, AB AC B C 也不满足. 满足: AB BA 的两个矩阵称为可交换的

例1已知A=B=求3A-2B例2 已知A=B且A+2X=B,求X21-求AB例3若A=K福
例 1 已知 1 2 5 0 5 3 0 1 4 3 2 1 , 4 0 3 2 0 3 2 1 1 2 3 1 A B , 求 3A2B. 例 2 已知 , 3 2 1 6 5 1 9 7 7 5 2 4 , 2 4 6 8 1 5 7 9 3 1 2 0 A B 且 A 2X B, 求X . 例 3 若 , 2 1 0 1 2 3 , 3 1 1 2 2 3 A B 求 AB

O例5求与矩阵A=可交换的一切矩阵例6 证明:如果 CA=AC,CB=BC,则有(A+ B)C=C(A+ B);(AB)C=C(AB)
例 5 求与矩阵 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 可交换的一切矩阵 . 例 6 证明: 如果 CA AC, CB BC , 则有 ( ) ( ). ( ) ( ); AB C C AB A B C C A B