电力系统潮流计算中结点阻抗矩阵的分块公式1问题的提出在一个有n+1个结点，b条线的电力网中，各结点上给定电功率S=P+jQk，kI1,2，.*，n(发电厂为输入功率，负荷点为输出功率)，要求各结点k上的电压Vk，使得在各结点上的电压V与结点电流的公轭I的乘积Vl就等于Sk.这里线路上的阻抗Z（或导纳ye=1/Ze）都是给定的在电工理论中，按结点分析的方法，结点电流与结点电压之间的关系是I-YV,V=Y-1i= zi,这里I是结点电流向量，V是结点电压向量，Y与Z都是n阶矩阵，Y称为结点导纳矩阵矩阵，Z称为结点阻抗矩阵.设Y=（ykm）nn，Z=（zkm）nn，于是问题就成为求方程组.Sk-VykmVm=0(k = 1,2,...,n)m=1或Sh-imlm-0(k-1,2,.,n)m=1的解，利用Y的，叫做结点导纳矩阵的方法：利用Z的，叫做结点阻抗矩阵的方法，这里主要是结点阻抗矩阵的方法2结点导纳矩阵与结点阻抗矩阵的求法在电工理论中，求结点导纳矩阵的方法是比较简单的，如果有向网络的衔接矩阵是A(它是n×b的矩阵)，各线路上的导纳是91,9/2，"，Jb，则结点导纳矩阵就是Y=Adiag(y1, /2,**", yb)A.例如，如图所示的一个简单的有向网络，○点是参考点，1
衔接矩阵是00A001011其中行表示第个端点，列表示导纳Ui（如下的矩阵同）则结点导纳矩阵是(yi+y2-92-1Adiag(i,y2,3,4,5ye)A'92+93+95-95-92-91-959i+4+95这是一个很简单的形成办法：矩阵Y中yk就是与结点k相接的各线的导纳之和，ykl就是结点k与结点1之间联线的导纳的负数（若结点k与1结点之间没有联线，则导纳为零)结点阻抗矩阵Z是导纳矩阵Y的逆矩阵，所以要求结点阻抗矩阵就要求一n阶逆矩阵，在n比较大的情况下，求解逆矩阵Z就比较困难，就是使用电子计算机，当n很大的时候，警如有四，五百个结点，由于计算机的内存有限，也算不出2来.近些年来，国外有用所谓分块的方法来计算，Kron利用分块方法求结点阻抗矩阵的公式，利用所谓正交网络的概念给了证明，但证明很复杂，我们这里给出一个简单的代数证明。3分块结点阻抗矩阵的公式设把网络G分成S块G1.G2...Gs；块与块之间有若干联线称为切断线，共t条，切断线的端点设为a1,a2,a3，；b1,b2，*;C1,C2，**;d1,d2，·如图所示．G的结点导纳矩阵为Y，结点阻抗矩阵为Z,=Y-1,又设切断线上的导纳各为y1,92，，yt;24=1/yi结点与切断线之间的衔接矩阵为C,C是n×t矩阵，例如如图所示的衔接2
矩阵C是11C=11又设Z = diag(21, 22, , 2t), Y= diag(y1, y2, **, yt),显然-1=Z令CtZC + diag(21, 22,.., zr) =2,其中diag(z1,22,z)=L,则C2C+Z=2于是整体网络的结点阻抗矩阵L的公式是Z=Z-ZCZ-1Ctz(1)这个公式的好处，就在于要求出阻抗矩阵Z，只要求出分块的阻抗矩阵Z1，，Z，以及一个阶矩阵艺的逆矩阵，然后利用公式（1)就可以得出Z，特别在使用计算机时存储量可以大大减少4公式（1)的证明3
按照2中所说的方法做结点导纳矩阵Y，Y - diag(Yi, Y2,..., Y) + X - Y + X这里X显然是这样一个矩阵：若结点a是切断线的端点，而与α相接的切断线有p条它们的导纳各为y1,y2..·,Up，则X中第a行第a列的元素为yi+y2+..+yp；若切断线y1与结点b相联，则X中第a行第b列和第b行第a列的元素都是一91；其余类推；其它元素都是零．如上面中的那个例子，相应的X就是1 + y2-y11-92r-yrYr-19r-1-91y1-92Y3 + y3-9394-94-y3y4-yr-94-Yr-1很容易直接算出11LX - Cdiag(y1, y2, ..., yr), Ct = Cdiag(--)Ct=CL-1Ct21222由于Y-+X,所以Z = Y-1 = (Y + X)-1 = [(I + XY-I)Y-1-Y-(I+XY)-1 =-Z(I+ZXZ)-1.其中I为单位矩阵，又因为(I+XZ)(I -CZ-1C,Z)=I+(X-CZ-1Ct-XZCZ-1C)Z=I+(X-(C+XZC)Z-1C)Z=I +(CL-1Ct-(C+CL-1C,ZC)Z-1C)Z-I+(CL-1Ct-CL-1(L+C,ZC)Z-1Ct)Z=I+(CL-1Ct-CL-122-1Ct)Z=I所以(I+)-1=1--1CZ.因此=Z(--1CZ),即=Z-C-1C4
摘录于庄瓦金编著《高等代数教程》》（国际华文出版社，2002年）第49-52页（陈健敏录入）15