《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第4章 线性方程组

第四章线性方程组4.1消元法4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法4.3线性方程组的公式解4.4结式和判别式

第四章 线性方程组 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式

伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关—克莱因（KleinF，1849—1925)

伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都 把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 ——克莱因（Klein F，1849－1925）

4.1消元法1.内容分布4.1.1线性方程组的初等变换4.1.2矩阵的初等变换英阶梯形矩阵4.1.3线性方程组有解的判别2.教学目的：会用消元法解线性方程组3.重点难点：线性方程组的消元解法

4.1 消元法 1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法

前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：a1iXi +ai2x2 +..:+ainxn =ba21Xj +a22X2 +...+a2nXn =b2(1)mX+am2X2+...+amnX,=bammm在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法

前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种 方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系 数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性 方程组： 在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法. （1）

例1角解线性方程组：X2+X =135(2)+ 3x3 = 3,2X十34X2 +5x3 = 2.2x,+13从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量x（即把x的系数化为零）

例1 解线性方程组： 从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2 倍，来消去这两个方程中的未知量 .25 3 4 2 ,33 3 5 ,1 3 1 2 1 1 32 321 321    xxx xxx xxx （2） ( ) 1 即把xx 1 的系数化为零

得到：2?+3x=3X232x2 — X3 =4为了计算的方便，把第一个方程乘以-2后，与第二个方程交换，得：Xi +=X2 +3x, = 33Xi +x =1- 2x2 - x3 = -4.把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量X2，得到

得到： 2 4 33 3 5 2 1 2 1 2 1 32 321 1 3    xx xxx xx 2 .4 1 ,33 3 5 32 31 321    xx xx xxx 为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得： 2 x 把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程 中的未知量 ，得到

X2+3x3=3X13X2 +X3 = 1x3 = 21（2）的解.从第一个方程现在很容易求出方程组减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得元十-X2?X2=3X3 = -2再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：X = 4X2=3这样我们就求出方程组的解X3 =-2

.2 1 33 3 5 3 32 321    x xx xxx 2 3 9 3 5 3 2 21    x x xx 2 3 4 3 2 1    x x x 现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得： 这样我们就求出方程组的解

4. 1. 1线性方程组的初等变换线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：①交换两个方程的位置：②用一个不等于零的数某一个方程：③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程这三种变换叫作线性方程组的初等变换定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组

①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 4.1.1 线性方程组的初等变换 线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换： 这三种变换叫作线性方程组的初等变换. 定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组

线性方程组的1（1）白的系数可以排成下面的一个表：arlaina12a2na21a22(3)aaam2mlmn而利用(1）的系数和常数项又可以排成下表：baiidin26a21a2na22(4)baaam2mlmmn

线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表： 而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：               mm mn n n aaa aaa aaa     21 2221 2 1211 1 （3）               mm mn m n n baaa baaa baaa     21 2 22 1 22 1 21 1 11 （4）

4.1.2矩阵的初等变换定义1日由st个数Ci排成一个s行t列的表S叫做一个s行列（或s×t）的矩阵，Ci叫做这个矩阵的元素注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表

4.1.2矩阵的初等变换               ss st t t ccc ccc acc     21 2 22 1 2 1 21 1 1 ij 定义1 由st个数 c 排成一个s行t 列的表 叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵， cij 叫做这个矩阵的元素. 注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全 不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一 个矩阵仅仅是一个表