《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 向量 3-2 向量组的线性相关性

第2节向量组的线性相关性1.向量组的线性组合2.向量组的线性相关与线性无关3.向量组线性相关性的判定4.向量组线性相关性的性质

第2节 向量组的线性相关性 1. 向量组的线性组合 2. 向量组的线性相关与线性无关 3. 向量组线性相关性的判定 4. 向量组线性相关性的性质

1.向量组的线性组合α与β不共线时，任意一个向量在平面解析几何中我们知道：平面上的向量α与，由平行四边形法则，可找到常数k、kz，使α与β共线β=kα；k,a0Bk,β010X0BX=ka+kβ

1. 向量组的线性组合 2 k  k1 α 在平面解析几何中我们知道: 平面上的向量 ， 共线： ； 不共线时, 任意 一个向量 , α与β α与β α与β β = kα  y O x β = kα β = kα y O x β = kα β = kα  1 2 γ = k k α + β 由平行四边形法则，可 找到常数k1、k2 , 使

定义1向量组A：α，αzα和向量β，若存在一组数k,kz,.…,k，使得β=k,α+k,αz+...+ka则称向量β是向量组A的线性组合，又称向量β可以由向量组A线性表示（或线性表出）注：（1）零向量是任一向量组的线性组合：2）向量组中任一向量都是该向量组的线性组合

定义1 向量组 A : α1 2 , , , α αs 和向量 , 若存在 1 2 s 一组数 k k k , , , , 使得 β = kα β = k k k 1 1 2 2 α + α + + s s α 则称向量 β 是向量组 = kα A的线性组合, 又称向量 可以由 向量组A线性表示(或线性表出). β = kα 注: (1) 零向量是任一向量组的线性组合; (2) 向量组中任一向量都是该向量组的线性组合

任何一个n维向量a=（a,a,…，a）例1都是n维单位向量组：108=800的线性组合，因a=ae+a8+...+anen

例1 任何一个n维向量 ( ) α = a a an T 1 2 ， ， ， 都是n维单位向量组： ,                                     1 2 1 0 0 0 1 0 = = , , = 0 0 1 n    α = a a a 1 1 2 2 + + + n n    的线性组合, 因

(20例2已知α,=1，αz-2，β=4，那么5）7向量β可由向量组αz线性表示：β=2α,+αz。23；那一例3已知405向量β不能由向量组αi，αz线性表示

例3 已知 1 2  1 1 2 1 2 3 α = α = = 1 0 4 0 1 5                                     ， ， 向量 不能由向量组 线性表示. 1 2 β = kα α ,α , 那么 例2 已知                               1 2 1 0 2 α = 1 α = 2 = 4 1 5 7 ， ， ，, 那么 向量 可由向量组 线性表示： . 1 2 β = kα α ,α

2.向量组的线性相关与线性无关α与β共线：β=kα；k,αtk,β=0上式可以改写为：β-kα=0两个α与向量共线一存在不全为零的实数ki,kz，使得k,α+k,β=0

存在不全为零的实数 k1 , k2 , 使得 . 2. 向量组的线性相关与线性无关 α与β 共线： β = kα ； 上式可以改写为： β - kα = 0 . k k 1 2 α + β = 0 k k 1 2 α + β = 0 两个 α与β 向量共线 

定义2向量组Aα，α2，…,，，如果存在不全为零的数k,,kz，…,k，使(3.3)k,α,+k,αz+...+kα,=0则称向量组A线性相关：如果3.3）当且仅当k=k,=.=k.=0时成立则称向量组A线性无关

为零的数k1  k2   ks , 使 1 1 2 2 α α α = 0 s s k + k + + k 则称向量组A线性相关; 定义2 向量组 A : A: α1 2 , , , α αs , 如果存在不全 (3.3) 则称向量组A线性无关. 如果(3.3)当且仅当 k1 = k2 =  = ks =0 时成立

(2)3例如，向量组α=0,α=-1,α=-10-1由于α,+αz-α,=0所以向量组线性相关

例如, 向量组                               1 2 3 1 2 3 α = 0 , α = -1 , α = -1 -1 1 0 由于 所以向量组线性相关

注（）一个零向量线性相关；（2）一个非零向量线性无关：（3）两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例：4）两个一维向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个三维向量线性相关的几何意义是这三个向量共面

(1) 一个零向量线性相关; (2) 一个非零向量线性无关; (3) 两个向量线性相关的充分必要条件是这两个 向量的对应分量成比例; (4) 两个二维向量线性相关的几何意义是这两个 向量共线, 三个三维向量线性相关的几何意义是这三 个向量共面. 注

(2)（2-例4讨论向量组α-2,%-1,%=2的线性相关性（2（2）解设存在ki,kz,kg使得ka,+kzαz+kg=0，即2k,+2kz-k,=0（2）（2）7-12k,-k, +2k,=0 (1)k2+k-1+k,2=0-1)（2（2-k,+2k,+2k,=0由于齐次线性方程组（1）的系数行列式为D=-27+0，故因此所给向量组线性无关方程组1）只有零解，日

例4 讨论向量组                               1 2 3 2 2 -1 2 + -1 + 2 = 0 -1 2 2 k k k 解 的线性相关性. 设存在k1  k2  k3 使得 k1 α1 + k2 α2 + k3 α3 = 0 , 即                               1 2 3 2 2 -1 α = 2 , α = -1 , α = 2 -1 2 2      1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0 2 2 0 2 2 0 k + k - k = k - k + k = -k + k + k = 由于齐次线性方程组(1)的系数行列式为D=-27≠0, 故 (1) 方程组(1)只有零解, 因此所给向量组线性无关