第3节线性方程组解的结构在上一节中，介绍了利用矩阵的初等变换解线性方程组的方法.下面我们用向量组的线性相关性的理论来讨论线性方程组的解的结构1.齐次线性方程组解的结构2.非齐次线性方程组解的结构
第3节 线性方程组解的结构 1. 齐次线性方程组解的结构 2. 非齐次线性方程组解的结构 在上一节中, 我们已经介绍了利用矩阵的初等变 换解线性方程组的方法. 下面我们用向量组的线性相 关性的理论来讨论线性方程组的解的结构
1.齐次线性方程组的解结构设齐次线性方程组为aix+a2x2+..+ainx,=0a21x,+a212x2+.+a2nx,=0(4.8)Lamx,+am2x2+..+amXn=0AX=0写成矩阵形式它的每一组解都是一个向量，称之为解向量
1.齐次线性方程组的解结构 设齐次线性方程组为 11 1 12 2 1 21 1 212 2 2 1 1 2 2 0 0 0 + + + = + + + = + + + = n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 写成矩阵形式 AX = 0 它的每一组解都是一个向量，称之为解向量. (4.8)
解向量的性质：性质1若x是AX=0的一个解，k为实数，则kx也是AX-0的一个解证因A(kx）=k(Ax）=k0=0，故命题成立性质2若x1，X2是AX-0的解，则x+x2也是AX-0的解证因A(x+x）=Ax+Ax2=0，故命题成立
解向量的性质： 性质1 若x1是AX=0的一个解，k为实数，则 kx1也是AX=0的一个解. 证 因 1 1 A kx k Ax k ( ) ( ) 0 0 = = = ，故命题成立. 性质2 若x1 ，x2是AX=0的解，则 x1 +x2 也是 AX=0的解. 证 因 A x x Ax Ax ( ) 0 1 2 1 2 + = + = ，故命题成立
aix,+ai2x2+...+ainx,=0a21x+a212x2+...+a2nx,=0(4.8)amX+am2X2+...+amnx,=0用S表示齐次线性方程组（4.8）的全体解向量所成的向量组问题：能否求出S的一个极大无关组，使得（4.8）的每个解都能由该极大无关组线性表示？
用S 表示齐次线性方程组(4.8)的全体解向量所成 的向量组. 问题： 能否求出S的一个极大无关组，使得(4.8) 的每个解都能由该极大无关组线性表示？ 11 1 12 2 1 21 1 212 2 2 1 1 2 2 0 0 0 + + + = + + + = + + + = n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (4.8)
对方程组（4.8），设系数矩阵A的秩为r，则经过若干次初等行变换，总可把A化为行最简形矩阵：2若A的前r个列向量线性无关
1 +1 1 2 +1 2 +1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n rr rn c c c c c c 对方程组(4.8)，设系数矩阵A的秩为r，则经过 若干次初等行变换，总可把A化为行最简形矩阵： 若A的前r个列 向量线性无关
上面矩阵对应的方程组+Cir+X,+1+Cinxn十X+C2r+1Xr+1O十.+C2nxn一x.中x+Cr+1Xr+1十CrnXn与方程组（4.8）同解，即有CinXnX=-C+X,+1X2=-C21r+1X,+1-..-C2nXnX,=-C+1X,+1-.::-CmXn
上面矩阵对应的方程组 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 0 0 + + + + + + + + + = + + + = + + = r r n n r r n n r rr r rn n x c x c x x c x c x x c x c x 与方程组(4.8)同解，即有 1 1 1 1 1 2 21 1 1 2 1 1 + + + + + + = − − − = − − − = − − − r r n n r r n n r rr r rn n x c x c x x c x c x x c x c x
自由未知量x·取任意常数，得其通解x, =-cir+it,-...-Cintn-,X2=-C21r+1t-...-C2ntn-x,=-cr+1-...-Cmtn-,x+I=tXr+2 =t2X,=tn-r
自由未知量 1 , , x x r n + 取任意常数 1 , , n r − t t , 得其通解 1 1 1 1 1 2 21 1 1 2 1 1 1 1 2 2 + − + − + − + + − = − − − = − − − = − − − = = = r n n r r n n r r rr rn n r r r n n r x c t c t x c t c t x c t c t x t x t x t
写成向量形式天：：大Cir+2Crtg.goo..C2rC2r+2..7r+2+t2.t-·0I..00若令ni12In-rx则通解表示为x=t,i+t,n2+..+tn-rnn-r(4.10)
写成向量形式 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + + + + + + − + + − − − − − − − − − = + + + r r n r r n r rr rr rn n r r r n x c c c x c c c x c c c t t t x x x x η1 η2 ηn-r 则通解表示为 . 若令 x = t1 1 2 2 n-r n-r η + t η + + t η (4.10)
，n2，，1n-线性无关，且（4.8）的任意一个解都可由它们线性表出，所以，2，，n-就是S的一个极大无关组定义4.3.1用S表示齐次线性方程组（4.8）的全体解向量所成的向量组，如果"，"2，，-是S的一个极大无关组，则称"，"12，，-是（4.8）的一个基础解系
量所成的向量组，如果 是S的一个极大 无关组，则称 是(4.8)的一个基础解系. 线性无关，且(4.8)的任意一个解 都可由它们线性表出，所以 就是S 的 一个极大无关组. 定义4.3.1 1 2 , , , η η ηn-r 用 S 表示齐次线性方程组(4.8)的全体解向 1 2 , , , η η ηn-r 1 2 , , , η η ηn-r 1 2 , , , η η ηn-r
定理4.3.1如果齐次线性方程组（4.8）有非零解，则它必有基础解系，且基础解系含有n-r(A）个解向量A为系数矩阵
定理4.3.1 如果齐次线性方程组(4.8)有非零解, 则 它必有基础解系, 且基础解系含有 n-r(A) 个解向量. A为系数矩阵