目录第二章随机变量及其分布1连续型随机变量1$2.3正态分布482.3.1582.3.2指数分布$2.3.3均匀分布7i
8 ¹ 1Ù ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.3 ëY.ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.3.1 ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §2.3.2 ê©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §2.3.3 þ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 i
第二章随机变量及其分布$2.3连续型随机变量离散随机变量只取有限个或可数无限个值，而连续型随机变量取不可数个值.这就决定了不能用描述离散型随机变量的办法来刻划连续型随机变量，考虑一个例子，假定步枪射手瞄准靶子在固定的位置进行一系列的射击.令X是命中点与过靶心垂线的水平偏离值，设X取值-5cm5cmlX是一个连续随机变量为了计算X落在某区间的概率，将[-5.51分为长为1厘米的小区间.对于每个小区间，以落在这个小区间的弹孔数除以弹孔总数得到落在这个区间的弹孔的相对频数设总弹孔数为100.我们得到下表：区间弹孔数相对频数10.01[5, 4]1[-4, 3]0.0160.06[-3, 2]130.13[-2, 1]24[1, 0]0.24[0, 1]270.27160.16[1, 2]7[2, 3]0.073[3, 4]0.03[4, 5]20.02上表可以用下图来表示：我们注意每个矩形的底等于1，高为该矩形的区间所对应的相对频数，所以面积为相对频数.全部矩形的面积是1.对于[-5,5]的任一子区间，我们可以根据上图估计弹孔落在该子区间的概率.例如要估计0<X≤2的概率，只要把区间中的两个矩形面积加起来，结果得到0.43.再臂如说要估计-0.25<X<1.5中的概率，我们应当计算该区间上的面积，结果得到：0.06+0.27+0.08=0.41.如果第二批的100颗子弹射在靶子上，我们就将获得另一个经验分布.它与第一个经验分布多半是不同的，尽管它们的外表可能相似如果把观察到的相对频数看作为某1
1Ù ÅCþ9Ù©Ù §2.3 ëY.ÅCþ lÑÅCþk½êç ëY.ÅCþØê. ùÒ û½ ØU^£ãlÑ.ÅCþ{5yëY.ÅCþ. Ä~f. b½ÚläOqf3½ ?1XÂ. -X´· ¥:Lq%RY² l§X[−5cm, 5cm]. X´ëYÅCþ. OXá3,«mVǧò[−5, 5]©1f«m. éuz«m§ ±á3ù«mêرoêá3ù«méªê. o ê100. ·eLµ «m ê éªê [−5, −4] 1 0.01 [−4, −3] 1 0.01 [−3, −2] 6 0.06 [−2, −1] 13 0.13 [−1, 0] 24 0.24 [0, 1] 27 0.27 [1, 2] 16 0.16 [2, 3] 7 0.07 [3, 4] 3 0.03 [4, 5] 2 0.02 þL±^eã5L«µ ·5¿zÝ/. u1§pTÝ/«m¤éAéªê§¤±¡È éªê. ÜÝ/¡È´1. éu[−5, 5]?f«m§·±âþãO á3Tf«mVÇ. ~XO0 < X ≤ 2Vǧr«m¥üÝ/¡È\ å5§(J0.43. 2X`O−0.25 < X ≤ 1.5¥Vǧ·AOT«m þ¡È§(Jµ 0.06 + 0.27 + 0.08 = 0.41. XJ11100f3qfþ§·Òò¼,²©Ù. §1 ²©Ùõ´ØÓ§¦+§ LUq. XJr* éªêw, 1
图2.3.1弹孔位点分布图0000O001X一“真”概率的估计，则我们假定有一个函数，它将给出任何区间中的精确概率，这些概率由曲线下的面积给出.由此我们得到如下定义：定义2.3.1.X称为连续型随机变量，如果存在一个函数f，叫做X的概率密度函数，它满足下面的条件：1.对所有的-00<T<+00,有f()≥0,2. J8 f(r)dr=1;3. 对于任意的-00<a≤b<+0,有P(a≤X≤b)=Jf(a)dc注2.3.1.对于任意的-80<<+0,有P(X=r)=f(u)du=0.注2.3.2.如果f只取某有限区间[a,b]的值，令f(r)ae[a,b]f(a) =0其它.则f是定义在(一o0,十oo)上的密度函数，且f(c)和f(r)给出相同的概率分布2
ã 2.3.1 :©Ùã X Density −4 −2 0 2 4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 “ý”VÇO§K·b½k¼ê§§òÑ?Û«m¥°(VÇ. ù V Çde¡ÈÑ. dd·Xe½Âµ ½Â 2.3.1. X¡ëY.ÅCþ§XJ3¼êf§XVÇݼꧧ ÷ve¡^µ 1. é¤k−∞ < x < +∞, kf(x) ≥ 0; 2. ´ +∞ −∞ f(x)dx = 1; 3. éu?¿−∞ < a ≤ b < +∞, kP(a ≤ X ≤ b) = ´ b a f(x)dx. 5 2.3.1. éu?¿−∞ < x < +∞, kP(X = x) = ´ x x f(u)du = 0. 5 2.3.2. XJf,k«m[a, b], - ˜f(x) = ( f(x) x ∈ [a, b], 0 Ù§. K ˜f´½Â3(−∞, +∞)þݼê, f(x)Ú ˜f(x)ÑÓVÇ©Ù. 2
注2.3.3.假设有总共一个单位的质量连续地分布在a≤≤b上，那么f(r)表示在点的质量密度且f(r)dr表示在区间[c,d]上的全部质量由于连续随机变量的概率是用积分给出的，我们可以直接处理密度的积分而不是密度本身定义2.3.2.设X为一连续型随机变量.则F(a) =f(u)du, -8<r<+00(2.3.1)称为X的（累积）分布函数注2.3.4.F(r)表示的是随机变量的数值小于或等于的概率，即(2.3.2)F()=P(X≤)-0<r<+0由式(2.3.2)定义的F为X的（累积)分布函数的一般定义.它适用于任意的随机变量：设X为一离散型随机变量，它以概率[p1..Pn..]取值[ai,,an,..]则F(a)=pi.aiSr分布函数F具有下列性质(1)F是非减的函数；(2) limr→-8 F(α) = 0;(3) limr→+ F(r) = 1.对于连续随机变量，如果F（）在点的导数存在，则f(r) = F'(r).连续随机变量的分布函数的图象如下图所示下面我们介绍常见的连续型分布.它们包括正态分布，指数分布和均匀分布3
5 2.3.3. bkoü þëY/©Ù3a ≤ x ≤ bþ. @of(x)L«3:x þÝ ´ d c f(x)dxL«3«m[c, d]þ Üþ. duëYÅCþVÇ´^È©Ñ, ·±?nÝÈ© Ø´ Ý . ½Â 2.3.2. XëY.ÅCþ. K F(x) = ˆ x −∞ f(u)du, −∞ < x < +∞ (2.3.1) ¡X(\È)©Ù¼ê. 5 2.3.4. F(x)L«´ÅCþêu½ uxVÇ, = F(x) = P(X ≤ x) − ∞ < x < +∞. (2.3.2) dª(2.3.2)½ÂFX(\È)©Ù¼ê½Â. §·^u?¿ÅCþ. X lÑ.ÅCþ, §±VÇ{p1, ., pn, .}{a1, ., an, .}. K F(x) = X ai≤x pi . ©Ù¼êFäke5: (1) F´~¼ê; (2) limx→−∞ F(x) = 0; (3) limx→+∞ F(x) = 1. éuëYÅCþ, XJF(x)3:xê3, K f(x) = F 0 (x). ëYÅCþ©Ù¼êãXe㤫. e¡·0 ~ëY.©Ù. §)©Ù, ê©ÙÚþ!©Ù. 3
图2.3.2（累积)分布函数F(x)1.00正态分布$2.3.1如果一个随机变量X具有概率密度函数1(一）2(2.3.3)f(r) =800，则称X为一正态随机变量，记为X~N(μg2)以(2.3.3)为密度的分布称为参数为μ和。2的正态分布具有参数μ=0.g=1的正态分布称为标准正态分布.用Φ()和o()表示标准正态分布N(0.1)的分布函数和密度函数从图(2.3.3)可以看出，正态分布的密度函数是以=μ为对称轴的对称函数μ称为位置参数.密度函数在r=μ处达到最大值，在(-oo,p)和(μ,+oo)内严格单调.同时我们看到，的大小决定了密度函数的陡峭程度.通常称为正态分布的形状参数以F(α)记正态分布N(μ,α2)的概率分布函数，则恒有F(r)=Φ()所以任一正态分布的概率分布函数都可通过标准正态分布的分布函数计算出来例2.3.1.求数k使得对于正态分布的变量有P(μ-kg<<μ+ka)=0.95.4
ã 2.3.2 (\È)©Ù¼ê F(x) 1.0 0 x §2.3.1 ©Ù XJÅCþXäkVÇݼê f(x) = 1 √ 2πσ exp − (x − µ) 2 2σ 2 , −∞ 0§K¡XÅCþ§PX ∼ N(µ, σ2 ). ±(2.3.3) Ý©Ù¡ëêµÚσ 2©Ù. äkëêµ = 0, σ = 1©Ù¡IO©Ù. ^Φ(x)Úφ(x)L«IO© ÙN(0, 1)©Ù¼êÚݼê. lã(2.3.3)±wÑ, ©Ùݼ괱x = µé¡¶é¡¼ê. µ¡ ëê. ݼê3x = µ?§3(−∞, µ)Ú(µ, +∞)SîüN. Ó· w, σû½ ݼêͧÝ. Ï~¡σ©Ù/Gëê. ±F(x)P©ÙN(µ, σ2 )VÇ©Ù¼ê§KðkF(x) = Φ( x−µ σ ). ¤±? ©ÙVÇ©Ù¼êÑÏLIO©Ù©Ù¼êOÑ5. ~ 2.3.1. ¦êk¦éu©ÙCþkP(µ − kσ < x < µ + kσ) = 0.95. 4
图2.3.3正态分布的密度函数0mu=1,sigma=10mu=4,sigma=1.mu=-2.sigm00-50X解：令F为正态分布N(H，g2)的分布函数，则有P(μ- ko 0f(α)=(2.3.5)02≤0其中入>0为常数，则称X服从参数为入的指数分布.指数分布的分布函数为e-arT>0F(T)(2.3.6)0≤0.5
ã 2.3.3 ©Ùݼê −5 0 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) mu=−2,sigma=2 mu=1,sigma=1 mu=4,sigma=1.5 ): -F©ÙN(µ, σ2 )©Ù¼ê, Kk P(µ − kσ 0, 0 x ≤ 0, (2.3.5) Ù¥λ > 0~ê, K¡XÑlëêλê©Ù. ê©Ù©Ù¼ê F(x) = ( 1 − e −λx x > 0, 0 x ≤ 0. (2.3.6) 5
图2.3.4指数分布的密度函数100lambda=18180-6-lambda=0.50-lambda=302A1068X:从图（2.3.5）可以看出，参数入愈大，密度函数下降得愈快指数分布经常用于作为各种”寿命”的分布的近似.令X表示某元件的寿命.我们引进X的失效率函数如下：P(r≤X≤r+△rX>a)h(r) =limAaAr-0失效率表示了元件在时刻尚能正常工作，在时刻以后，单位时间内发生失效的概率.则如果h(a)=入(常数)，0r)/h=), h-→06
ã 2.3.4 ê©Ùݼê 0 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f(x) lambda=0.5 lambda=1 lambda=3 lã(2.3.5)±wÑ, ëêλ, ݼêeü¯. ê©Ù²~^u«”Æ·”©ÙCq. -XL«,Æ·. ·Ú ?XǼêXe: h(x) = lim ∆x→0 P(x ≤ X ≤ x + ∆x|X > x) ∆x . ÇL« 3xÿU~ó, 3x±, ü mSu)VÇ. K XJ h(x) ≡ λ (~ê), 0 fÆ·§F(x)٩ټê"ebÃPz§= 3x~ó^e§ÙDZ,~êλ§xÃ'"Áy²XÑl ê©Ù" )µÇ=ü mSVǧÏddK P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = λ, h → 0 6
因为P(r≤X≤r+h)X >a)= P(a≤X≤a+h)(X>al) _ F(a+h) -F(a)P(X >r)1-F(r)所以有F(r)=lim P(α≤X≤+h|X>a)/h =1-F()即得到微分方程=入,解此方程得到-FCF(r)=1-e-ar从而结论得证。指数分布的最重要的特点是“无记忆性”。即若x服从指数分布，则对任意的s,t>0有(2.3.7)P(X >s+t/ X>s)=P(X>t)即寿命是无老化的.可以证明，指数分布是唯一具有性质(2.3.7)的连续型分布82.3.3均匀分布设ab.在计算时因四舍五入而产生的误差可以用均匀分布来描述7
Ï P(x ≤ X ≤ x + h|X > x) = P({x ≤ X ≤ x + h}{X > x}) P(X > x) = F(x + h) − F(x) 1 − F(x) ¤±k lim h→0 P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = F 0 (x) 1 − F(x) = λ =©§ F 0 (x) 1−F(x) = λ,)d§ F(x) = 1 − e −λx l (Øy" ê©ÙA:´“ÃPÁ5”. =eXÑlê©Ù§Ké?¿s, t > 0k P(X > s + t | X > s) = P(X > t). (2.3.7) =Æ·´ÃPz. ±y², ê©Ù´äk5(2.3.7)ëY.©Ù. §2.3.3 þ!©Ù a b. 3OÏoÊ\ )Ø ±^þ!©Ù5£ã. 7