《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 矩阵的相似 5-2 相似矩阵

第2解相似矩阵在线性代数中，，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系.相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决1.向量的内积2.相似矩阵的概念3.相似矩阵的性质

第2解 相似矩阵 在线性代数中, 相似矩阵是指存在相似关系的矩阵. 相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系. 相似矩阵保 留了矩阵的许多性质, 因此许多对矩阵性质的研究可以 通过研究更简单的相似矩阵而得到解决. 1. 向量的内积 2. 相似矩阵的概念 3. 相似矩阵的性质

1.向量的内积在解析几何中，已经定义了向量的数量积，向量的长度、夹角等度量性质都可以用向量的数量积来表示.可以把这个定义推广到n维向量上，此时我们称之为向量的内积定义设有n维向量α=(a,a2,.,an)T,β=(bi,b2, .., bn)T,向量α与β的内积定义为(α,β)=a,b,+a,b,+...+a,b,=αTβ

1. 向量的内积 在解析几何中, 已经定义了向量的数量积, 向量 的长度、夹角等度量性质都可以用向量的数量积来表 示. 可以把这个定义推广到n维向量上, 此时我们称之 定义 设有n维向量 a=(a1  a2     an ) T  b=(b1  b2     bn ) T  为向量的内积. 向量a与b的内积定义为 (a b) = a1 b1+a2 b2+    +an bn = aT b

内积的性质设α，β，n为n维向量，为实数，则(1) (α, β)=(β,α) ;(2)(Aα,β)=-a(α,β);(3) (α+β,n)=(α, n)+(β,n) ;(4)当α=0时，(α,α)=0；当α0时，(α,α)>0；

内积的性质 设a b h为n维向量 为实数 则 (1) (a b)=(ba)  (2) (a b)=(a b)  (3) (a+b h)=(a h)+(bh)  (4) 当a=0时 (a a)=0 当a0时 (a a)0 

内积的性质设α，β，n为n维向量，a为实数，则(1) (α, β)=(β,α) ;(2) (α,β)=-a(α,β) ;(3) (α+β,n)-(α, n)+(β,n) ;(4）当α=0时，（α,α)=0；当α±0时，（αα)>0；(5) (α, β)≤(α, α)(β, β)

内积的性质 设a b h为n维向量 为实数 则 (1) (a b)=(ba)  (2) (a b)=(a b)  (3) (a+b h)=(a h)+(bh)  (4) 当a=0时 (a a)=0 当a0时 (a a)0  (5) (a b)2(a a)(b b) 

设α为n维向量，令ala-a+ai+aα称为n维向量α的长度（或范数）

设a为n维向量, 令 ||a||称为n维向量a的长度(或范数) ||a|| = (α,α) 2 2 2 = a + a + + a 1 2 n

设α为n维向量，令Iall=Va,a)=Va+a+...+aα称为n维向量α的长度（或范数）向量的长度的性质设α，β为n维向量，a为实数，则(1非负性：当α+0时，α>0;当α=0时，α-0;

设a为n维向量, 令 ||a||称为n维向量a的长度(或范数) 向量的长度的性质 设a b为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当a0时 ||a||0 当a=0时 ||a||=0 ||a|| = (α,α) 2 2 2 = a + a + + a 1 2 n

设α为n维向量，令Iall=Vaa)-ya+a+..+aαl称为n维向量α的长度（或范数）向量的长度的性质设α，β为n维向量，a为实数，则(1)非负性：当α+0时，α>0；当α-0时，α-0(2)齐次性：αlαll;

设a为n维向量, 令 ||a||称为n维向量a的长度(或范数) 向量的长度的性质 设a b为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当a0时 ||a||0 当a=0时 ||a||=0 (2)齐次性 ||a||=||a|| ||a|| = (α,α) 2 2 2 = a + a + + a 1 2 n

设α为n维向量，令Ilall=Vaa)-ya+a+...+aαl称为n维向量α的长度（或范数）向量的长度的性质设αβ为n维向量，a为实数，则(1)非负性：当α+0时，α>0；当α-0时，α-0(2)齐次性：(3）三角不等式：/α+β≤α/+β

设a为n维向量, 令 ||a||称为n维向量a的长度(或范数) 向量的长度的性质 设a b为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当a0时 ||a||0 当a=0时 ||a||=0 (2)齐次性 ||a||=||a|| (3)三角不等式 ||a+b||||a||+||b|| ||a|| = (α,α) 2 2 2 = a + a + + a 1 2 n

设α为n维向量，令all-Vaa-a+a++aα称为n维向量α的长度（或范数）向量的长度的性质设α，β为n维向量，a为实数，则(1）非负性：当α±0时，α>0；当α=0时，α=0(2)齐次性：/α=α;（3）三角不等式：α+β/≤α/+βl长度为1的向量称为单位向量

设a为n维向量, 令 ||a||称为n维向量a的长度(或范数) 向量的长度的性质 设a b为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当a0时 ||a||0 当a=0时 ||a||=0 (2)齐次性 ||a||=||a|| (3)三角不等式 ||a+b||||a||+||b|| ||a|| = (α,α) 2 2 2 = a + a + + a 1 2 n 长度为1的向量称为单位向量

当（α，β）-0时，称向量α与β正交.显然，若α=0,则α与任何向量都正交若非零向量组A：αα2，α是一组两两正交的向量组，则称A:α1α2α为正交向量组定理1工正交的向量组必定线性无关

当(a b)=0时 称向量a与b正交 显然 若a=0 则a 与任何向量都正交 若非零向量组A: a1  a2     ar是一组两两正交的 向量组 则称A: a1  a2     ar为正交向量组 定理1 正交的向量组必定线性无关