《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 矩阵的相似 5-1 矩阵的特征值与特征向量

第5章久矩阵的相似第1节矩阵的特征值与特征向量第2节相似矩阵城第3节矩阵的对角化

第5章 矩阵的相似 第1节 矩阵的特征值与特征向量 第2节 相似矩阵 第3节 矩阵的对角化

第1节矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念刻画了方阵的一些本质的特征，在几何学、力学、常微分方程动力系统、管理工程及经济应用等方面都有着广泛的应用.如工程技术中的振动问题和稳定性问题、最大值最小值问题常常可以归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题也都要用到特征值的理论

第1节 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念刻画了方阵的一些本质 的特征, 在几何学、力学、常微分方程动力系统、管 理工程及经济应用等方面都有着广泛的应用. 如工程 技术中的振动问题和稳定性问题、最大值最小值问题, 常常可以归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问 题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题, 也都要用到特征值的理论

在第四章中，我们已经学习了求线性方程组的解的问题，例如，求方程组的非零解问题(2-2)x+y=0x+(2-元）y=0移项并将方程组转化成矩阵形式G-问题转化为求非零向量（αx，)T和数入使得上式成立这就是矩阵的特征值和特征向量问题

在第四章中，我们已经学习了求线性方程组的 解的问题. 例如，求方程组的非零解问题 2 1 1 2            =      x x y y 移项并将方程组转化成矩阵形式 问题转化为求非零向量 (x, y) T 和数  使得上式成立, (2 ) 0 (2 ) 0    − + =   + − = x y x y 这就是矩阵的特征值和特征向量问题

1.特征值、特征向量的定义定义5.1.1设A是n阶方阵.如果存在数入和n维非零中向量α，使关系式(5.1)Aa-2a成立.那么，这样的数入称为方阵A的特征值，非零向量α称为A的属于特征值入的特征向量

1. 特征值、特征向量的定义 定义5.1.1 设A是n阶方阵.如果存在数  和 n维非零 向量a , 使关系式 Aα = λα 成立. 那么, 这样的数  称为方阵A的特征值, 非零向 量 a 称为A的属于特征值 的特征向量. (5.1)

-2211-2-24例如，设三阶方阵A--224-21999因为有-2-224美20故2是A的一个特征值，向量是A的属于特征值2的一个特征向量

例如，设三阶方阵 1 2 2 2 2 4 2 4 2   −   = − −       − A 因为有 1 2 2 2 4 2 2 2 4 0 0 2 0 2 4 2 1 2 1        −        − − = =                      − 故2是A的一个特征值，向量 是A的属于特征值2 的一个特征向量. 2 0 1          

注意(1)特征值问题只是对方阵而言；（2特征向量是非零向量：（3）特征向量不是被特征值所唯一决定；（4）一个特征向量只能属于一个特征值

注意 (1) 特征值问题只是对方阵而言; (2) 特征向量是非零向量; (3) 特征向量不是被特征值所唯一决定; (4) 一个特征向量只能属于一个特征值

关系式Aα=入α可写成(A-2E)=0(5.2)上式有非零解的充分必要条件是系数行列式A-2E-0(5.3)a-2a121a22-入即a21a2n(5.4)-0ann-2anlan2的根（5.4)从而求矩阵的特征值转化为求方程（5.2）的非零解求矩阵的特征向量转化为求方程组

( ) A - λE α = 0 关系式 Aa = a 可写成 (5.2) 上式有非零解的充分必要条件是系数行列式 A E - λ = 0 即 11 12 1 21 22 2 1 2 - λ - λ = 0 - λ n n n n nn a a a a a a a a a （5.3） （5.4） 从而求矩阵的特征值转化为求方程（5.4）的根. 求矩阵的特征向量转化为求方程组（5.2）的非零解

定义5.1.2设A是n阶方阵，入是一个未知量，矩阵(A-2E)称为A的特征矩阵；行列式A-E记作f（2）：方程称为A的特征多项式，丽A-2E=0称为A的特征方程，该特征方程的根即为A的特征值

定义5.1.2 设A是n阶方阵 是一个未知量, 矩阵 ( - A Eλ ) 称为A的特征矩阵; 行列式 A E - λ 称为A的特征多项式, 记作 f () ; 方程 A E - λ = 0 称为A的特征方程, 该特征方程的根即为A的特征值

求A的特征值和特征向量的步骤问题研讨I计算A的特征多项式IA-2EL（或|2E-AD：2）求出方程1A-2EI-0的全部根，即为A的特征值：(3对于A的每一个特征根入：，求出方程组(A-2,E)X=-0i=1,2,...,n的基础解系，，"，，n，就是A对应于入，的特征向量，而其线性组合k,n,+k,n,+...+k,n,k,,ki,K就是A对应于入，的全部特征向量不全为零

问题研讨 求A的特征值和特征向量的步骤： (1)计算A的特征多项式┃A−E⌡ (或⌡E-A⌡); (2)求出方程┃A−E⌡=0的全部根, 即为A的特征值； (3)对于A的每一个特征根 i , 求出方程组 ( - A E X λi ) = 0 的基础解系, 1 2 t ηi i i ,η , ,η 量, 而其线性组合 i n = 1,2, , , , , 1 2 t k k k i i i 1 1 2 2 t t ki i i i i i η + k η + + k η 就是A对应于i 的全部特征向量. 不全为零. , 就是A对应于i的特征向

例题5.1.1求下列矩阵A的特征值和特征向量解A的特征多项式为1-元=（1-元）IA-元E=01一元1001一元解方程--0得A的特征值为===1

例题5.1.1 求下列矩阵A的特征值和特征向量 1 1 1 0 1 1 0 0 1     =       A 解 A的特征多项式为 ( ) 3 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1      − − = − = − − A E 解方程 A E − =  0 得A的特征值为    1 2 3 = = =1