目录第二章随机变量及其分布1$2.4多维分布1边缘分布4$2.5i
8 ¹ 1Ù ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.4 õ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 i
第二章随机变量及其分布82.4多维分布在实际应用中，经常需要对所考虑的问题用多个变量来描述.我们把多个随机变量放在一起组成向量，称为多维随机变量或者随机向量例2.4.1.从一付扑克牌中抽牌时，可以用纸牌的花色和数字来说明其特征.例2.4.2.考虑一个打靶的试验.在靶面上取定一个直角坐标系.则命中的位置可由其坐标(X,Y)来刻划.X,Y都是随机变量定义2.4.1.设X=(X1,..,Xn)．如果每个X都是一个随机变量，=1,.，n，则称X为n维随机变量或者随机向量我们可以按照对常用一维随机变量的分类把常用的随机向量分为离散型和连续型的.定义2.4.2.如果每一个X,都是一个离散型随机变量，i=1,,n，则称X=(X1,.,Xn)为一n维离散随机变量．设X,的所有可能取值为[ail,ai2,}，i=1,..,n，则称(2.4.1)p(ii,...,jn)=P(Xi = ali....,Xn =anin), Ji,....jn =l,2,...为n维随机变量X的概率函数容易证明概率函数具有下列性质(1)p(ji,...,jn)≥0,ji=1,2,.., i=1,2,...,n(2) E p(ji,...,jn) =1.71...7例2.4.3.设A1，..·，An为某一实验下的完备事件群，即A1，，An两两互且和为2。记pk=P(Ak)(k=1,..,n)，则pk≥0,p1+..+pn=1。现将实验独立的重复作N次，分别用X,表示事件A出现的次数(i=1,，n)。则X=（X1,.,Xn）为一离散型随机向量，试求X的概率函数。此分布律称为多项分布，记为M(N;p1，...,Pn).1
1Ù ÅCþ9Ù©Ù §2.4 õ©Ù 3¢SA^¥§²~Ié¤Ä¯K^õCþ5£ã. ·rõÅCþ 3å|¤þ§¡õÅCþ½öÅþ. ~ 2.4.1. lGÀý¥Äý, ±^ýsÚÚêi5`²ÙA. ~ 2.4.2. ÄqÁ. 3q¡þ½IX. K·¥ dÙ I(X, Y )5y. X,Y Ñ´ÅCþ. ½Â 2.4.1. X = (X1, . . . , Xn). XJzXiÑ´ÅCþ§i = 1, · · · , n§K ¡XnÅCþ½öÅþ. ·±Uìé~^ÅCþ©ar~^Åþ©lÑ.ÚëY. . ½Â 2.4.2. XJzXiÑ´lÑ.ÅCþ§i = 1, ., n§K¡X = (X1, . . . , Xn) nlÑÅCþ. Xi¤kU{ai1, ai2, · · · }, i = 1, . . . , n, K¡ p(j1, · · · , jn) = P(X1 = a1j1 , . . . , Xn = anjn ), j1, ., jn = 1, 2, . (2.4.1) nÅCþXVǼê. N´y²VǼêäke5: (1) p(j1, . . . , jn) ≥ 0, ji = 1, 2, · · · , i = 1, 2, . . . , n; (2) P j1,··· ,jn p(j1, . . . , jn) = 1. ~ 2.4.3. A1, · · · , An,¢e¯+§=A1, · · · , Anüüp½ ÚΩ"Ppk = P(Ak)(k = 1, . . . , n)§Kpk ≥ 0, p1 +· · ·+pn = 1"yò¢ÕáENg§©O^XiL «¯AiÑygê(i = 1, · · · , n)"KX = (X1, . . . , Xn) lÑ.Åþ§Á¦X VǼê"d©ÙÆ¡õ©Ù, PM(N; p1, . . . , pn). 1
解：由于试验独立进行，总的结果数为N，记结果A,出现的次数为k，则ki+.+kn=N。因此相当于多组组合，所以N!P(Xi=ki,..*,Xn=kn)=P(Ai...Ai...An...Anki!...kn!N!kil...npfi..pha..其中k1,...,kn为非负整数且ki+..+kn=N.我们来看一下X，的分布：此时我们把试验结果分为两类，A和A，则显然就是一个N重贝努里试验，因此P(Xi = ki) =)pk(1- p)N-kt,ki =1,..,N.类似我们也可以找出(X,X,)(i≠i)的联合分布律，即为M(N,pi,Pj,1-pipi).我们具体来看一下二维离散分布.设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为[(ri,yi)：i=1,.n,j=1,2..,m}．我们经常以列联表的形式来表示二维离散型随机变量的概率分布.记Pij=P(X=r,,Y=yi), i=l,...n,j=l,..m.则(X,Y)的概率函数可以下表表示：X行和a122TnYy1P11PnlP21p.192P12Pn2p.2P22:..:主...目Ympimp2mpnmp.m列和1P1.P2..Pn.例2.4.4.从一个包含五个黑球，六个白球和七个红球的罐子里抽取四个球.令X是抽到白球的数目，Y是抽到红球的数目：则二维随机变量(X,Y)的概率函数为() ()(--)p(r,y) =0<+y<4(2.4.2)()以列联表表示，即为2
): duÁÕá?1, o(JêN§P(JAiÑygêki§Kk1 +· · ·+kn = N" Ïduõ||ܧ¤± P(X1 = k1, · · · , Xn = kn) = N! k1! · · · kn! P(A1 · · · A1 . . . An · · · An) = N! k1! · · · kn! p k1 1 · · · p kn n , Ù¥ k1, . . . , kn Kê k1 + · · · + kn = N. ·5weXi©Ùµd·rÁ(J©üa, AiÚA¯ i§Kw,Ò´ NãpÁ§Ïd P(Xi = ki) = N ki p ki i (1 − pi) N−ki , ki = 1, · · · , N. aq·±éÑ(Xi , Xj )(i 6= j)éÜ©ÙƧ=M(N, pi , pj , 1 − pi − pj ). ·ä N5welÑ©Ù. lÑ.ÅCþ(X, Y )¤kU{(xi , yj ) : i = 1, ., n, j = 1, 2, ., m}. ·²~±éL/ª5L«lÑ.ÅCþVÇ© Ù. P pij = P(X = xi , Y = yj ), i = 1, ., n, j = 1, ., m. K(X, Y )VǼê±eLL«: ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 ~ 2.4.4. l¹Êç¥, 8x¥ÚÔù¥-fpÄo¥. -X´Ä x¥ê8, Y ´Äù¥ê8. KÅCþ(X, Y )VǼê p(x, y) = 6 x 7 y 5 4−x−y 18 4 , 0 ≤ x + y ≤ 4. (2.4.2) ±éLL«, = 2
X0123行和4A01021021536125T204丽亚丽亚嘉113718234%列和1类似于一维连续型随机变量，连续型随机向量的也是由密度函数来刻画的定义2.4.3.称X=(X1...,Xn)为n维连续型随机变量，如果存在Rn上的非负函数f(r1，.n)，使得对任意的-o0<ai≤bi<+o0,.,-0<an≤bn<+oo,有P(ai≤Xi≤bi..,an≤Xn≤bn) =f(ai,..,an)dai...dan,(2.4.3)则称f为X的概率密度函数.对n维随机变量我们也有分布函数的概念定义2.4.4.设X=（Xi....,Xn)为n维随机变量.对任意的(a1,...,an）ERn，称(2.4.4)F(r1,...,an) =P(Xi ≤r1,...,Xn ≤an)为n维随机变量X的(联合)分布函数可以验证分布函数F(a1....,n)具有下述性质(1)F(ai,，n)对每个变元单调非降；(2)对任意的1≤j≤n有，limF(r1,..,an)=0;lim(3)F(ri, ,rn) = 1.3
❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X 0 1 2 3 4 1Ú 0 1 612 1 51 5 102 5 153 1 204 11 102 1 7 306 7 51 35 204 7 153 77 204 2 7 102 7 34 7 68 7 17 3 35 612 7 102 77 612 4 7 612 7 612 Ú 99 612 22 51 11 34 4 51 1 204 1 aquëY.ÅCþ, ëY.Åþ´dݼê5x. ½Â 2.4.3. ¡X = (X1, . . . , Xn)nëY.ÅCþ§XJ3R nþK¼êf(x1, . . ., xn)§¦é?¿−∞ < a1 ≤ b1 < +∞, ., −∞ < an ≤ bn < +∞, k P(a1 ≤ X1 ≤ b1, ., an ≤ Xn ≤ bn) = ˆ bn an . ˆ b1 a1 f(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn, (2.4.3) K¡fXVÇݼê. énÅCþ·k©Ù¼êVg. ½Â 2.4.4. X = (X1, . . . , Xn)nÅCþ. é?¿(x1, . . . , xn) ∈ R n§¡ F(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) (2.4.4) nÅCþX(éÜ)©Ù¼ê. ±y©Ù¼êF(x1, . . . , xn)äkeã5: (1) F(x1, · · · , xn)ézCüNü; (2) é?¿1 ≤ j ≤ nk§ lim xj→−∞ F(x1, · · · , xn) = 0; (3) lim x1→∞,··· ,xn→∞ F(x1, · · · , xn) = 1. 3
对n维连续型随机变量，从密度的定义我们有，F(ri,...,an) =f(ri,.,an)dri...dan对高维离散型随机变量，一般我们不使用分布函数例2.4.5.考虑二维随机变量X=(X1,X2)，其概率密度函数为1/[(b-a)(d-c)] 当 a≤i≤b, c≤r2≤d,f(1,2)=0其它.称此概率密度为[a,b]×[c,d]上的均匀分布例2.4.6.设(X,Y)的概率密度函数有形式11[( -a)?(r-a)(y-b)(y-b)2f(r,y) =2(1-p2) /2元0102V1-p20102a20i其中-0< a,b<80, 0<1,02<0,-1≤p≤1. 称(X,Y)服从参数为a,b,α1,2,p的二元正态分布，记为N(a,b,i,2,p)82.5边缘分布设(X1..Xn)为n维随机变量，其概率分布F已知令Xi..Xi为Xi,..Xn的任一子集，则Xi.Xi…的分布称为X1.Xn或F的一个m维边缘分布..我们先考虑离散型随机向量.设二维离散随机变量(X,Y)的所有可能取值为(ai,yi)：i,j=1,2.}，则(Xx,Y)的联合分布律为P(X = ri,Y =yi) = piji=1,...,n,j=1,2,...,m以列联表的形式表示就是X行和T122..EnAy1P11...Pn1p.1P21P12..92P22Pn2p.2::::主...:PimYmP2mPnmp-m列和1P1.P2.Pn...4
énëY.ÅCþ, lݽ·k, F(x1, . . . , xn) = ˆ xn −∞ . ˆ x1 −∞ f(x1, ., xn)dx1.dxn. éplÑ.ÅCþ, ·Ø¦^©Ù¼ê. ~ 2.4.5. ÄÅCþX = (X1, X2)§ÙVÇݼê f(x1, x2) = ( 1/[(b − a)(d − c)] a ≤ x1 ≤ b, c ≤ x2 ≤ d, 0 Ù§. ¡dVÇÝ[a, b] × [c, d]þþ!©Ù. ~ 2.4.6. (X, Y )VÇݼêk/ª f(x, y) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 exp − 1 2(1 − ρ 2) (x − a) 2 σ 2 1 − 2ρ (x − a)(y − b) σ1σ2 + (y − b) 2 σ 2 2 Ù¥−∞ ©Ù (X1, ., Xn)nÅCþ§ÙVÇ©ÙF®. -Xi1 , ., XimX1, ., Xn? f8§KXi1 , ., Xim©Ù¡X1, ., Xn½Fm>©Ù. ·kÄlÑ.Åþ. lÑÅCþ(X, Y )¤kU{(xi , yj ) : i, j = 1, 2, · · · }§K(X, Y )éÜ©ÙÆ P(X = xi , Y = yj ) = pij i = 1, ., n, j = 1, 2, ., m. ±éL/ªL«Ò´ ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 4
从上述列联表我们可以计算随机变量X和Y的分布.固定某个ci：因为Y在使得X=的那些样本点上必取值为y1.9m中之一，故有mThpx(r) = P(X = ri) =P(X = ri,Y = yi) = pij = pi., i= 1,2, .n.(2.5.1)j5所以上述列联表的行和所表示的正是X的分布.因为这个分布是从X和Y的联合分布推导出来的，我们称(2.5.1)为X的边缘分布.类似可以得到Y的边缘分布律py(yi) = P(Y = yi) =Zpij=p-j,j=1,2,.**m.i它是上述列联表的列和.所以从列联表中，我们不仅得到两个随机变量的联合分布，同时通过将每行和每列相加，得到两个变量的边缘分布类似地，可对n（n>2)维的随机变量定义边缘分布.设X1..,Xn为n维随机变量，其概率分布F已知令Xi..Xim为Xi..Xn的任一子集，则i..Xi.的概率函数为Pi... (ji...Jim)=P(Xi=aij.., Xim =aimjim)=p(ji. jn)其中和是对除Xi1...Xi之外的所有变量来求和.例2.5.1.袋中有5张外形相同的卡片，其中3张写上数字"0"，另2张写上”1”。现从袋中任取两张卡片，分别以，n表示第一张和第二张卡片上的数字，试求分别在有放回和不放回两种情形下（S，n)的联合分布律及边际分布律解：简单计算得到nIs01nls01p.jp.j009/256/253/56/206/203/56/254/2516/202/202/512/53/52/53/52/51Pi.1Pi.这个例子说明边际分布律不能决定联合分布律。现考虑连续型随机向量的边缘分布.先考虑二维的情形设（X,Y)有概率密度函数f(t,y).则P(1≤X≤2)=P(1≤X≤22,-00<Y<+00)5
lþãéL·±OÅCþXÚY ©Ù. ½,xi . ÏY 3¦X = xi@ :þ7y1, ., ym¥, k pX(xi) = P(X = xi) = Xm j P(X = xi , Y = yj ) = Xm j pij = pi· , i = 1, 2, · · · n. (2.5.1) ¤±þãéL1Ú¤L«´X©Ù. Ïù©Ù´lXÚY éÜ©Ùí Ñ5, ·¡(2.5.1)X>©Ù. aq±Y >©ÙÆ pY (yj ) = P(Y = yj ) = Xn i pij = p·j , j = 1, 2, · · · m. §´þãéLÚ. ¤±léL¥, ·Ø=üÅCþéÜ©Ù, Ó ÏLòz1Úz\, üCþ>©Ù. aq/, én (n > 2)ÅCþ½Â>©Ù. X1, ., XnnÅCþ§Ù VÇ©ÙF®. -Xi1 , ., XimX1, ., Xn?f8§KXi1 , ., XimVǼê pi1.im(ji1 , ., jim) = P(Xi1 = ai1ji1 , ., Xim = aimjim ) = Xp(j1, ., jn). Ù¥Ú´éØXi1 , ., Xim ¤kCþ5¦Ú. ~ 2.5.1. ¥k5Ü /Ók¡§Ù¥3Üþêi”0”§,2Üþ”1”"yl¥ ?üÜk¡§©O±ξ, ηL«1ÜÚ1Ük¡þêi§Á¦©O3k£ÚØ £ü«/e(ξ, η)éÜ©ÙÆ9>S©ÙÆ. )µ{üO η\ξ 0 1 p·j 0 9/25 6/25 3/5 1 6/25 4/25 2/5 pi· 3/5 2/5 1 η\ξ 0 1 p·j 0 6/20 6/20 3/5 1 6/20 2/20 2/5 pi· 3/5 2/5 1 ù~f`²>S©ÙÆØUû½éÜ©ÙÆ" yÄëY.Åþ>©Ù. kÄ/. (X, Y )kVÇݼ êf(x, y). K P(x1 ≤ X ≤ x2) = P(x1 ≤ X ≤ x2, −∞ < Y < +∞) 5
(u,v)dudfx(u)du,(2.5.2)其中f(u,v)dv(2.5.3)fx(u) =从(2.5.2)我们可以看出，X的边缘密度函数即为(2.5.3).类似地，Y的边缘密度函数为f(u,u)dufy(u) =(2.5.4)当n>2时，令f(c1...an)为n维连续型随机变量(X1,.Xn)的概率密度函数.设(i,.，im）为(1,2,.,n)的一个子集则同上可证，Xi.Xim的概率密度函数为f(i..,.im) =..f(a,,an)dr...den.其中积分是对除Xi,Xim之外的所有变量来求积.例2.5.2.设(Xi,X2)服从N(a,b,o,,p).则可证明X的边缘分布为N(a,)，X2的边缘分布为N(b,)例2.5.2说明了虽然n维随机变量X=(X1...X,)的分布可以唯一决定其所有的边缘分布，但边缘分布不足以决定X的联合分布例2.5.3.考虑两个概率密度函数p(r,y) =a+y,0<r,y<1)=(++),0<r,y<1q(r,y)试求边际概率密度。解：易得所求边际概率密度都是如下形式1f(t)=t+0<t<1.2说明边际概率密度不能决定联合概率密度。6
= ˆ +∞ −∞ ˆ x2 x1 f(u, v)dudv = ˆ x2 x1 fX(u)du, (2.5.2) Ù¥ fX(u) = ˆ +∞ −∞ f(u, v)dv. (2.5.3) l(2.5.2)·±wÑ, X>ݼê=(2.5.3). aq/, Y >ݼê fY (u) = ˆ +∞ −∞ f(u, v)du. (2.5.4) n > 2, -f(x1, ., xn)nëY.ÅCþ(X1, ., Xn)VÇݼê. (i1, · · · , im) (1, 2, ., n)f8. KÓþy, Xi1 , ., XimVÇݼê f(xi1 , ., xim) = ˆ . ˆ f(x1, ., xn)dx1.dxn. ٥ȩ´éØXi1 , ., Xim ¤kCþ5¦È. ~ 2.5.2. (X1, X2)ÑlN(a, b, σ2 1 , σ2 2 , ρ).Ky²X1>©ÙN(a, σ2 1 )§X2> ©ÙN(b, σ2 2 ). ~2.5.2`² ,nÅCþX = (X1, ., Xn)©Ù±û½Ù¤k> ©Ù§>©ÙØv±û½XéÜ©Ù. ~ 2.5.3. ÄüVÇݼê p(x, y) = x + y, 0 SVÇÝ" )µ´¤¦>SVÇÝÑ´Xe/ª f(t) = t + 1 2 , 0 SVÇÝØUû½éÜVÇÝ" 6
例2.5.4.设(X,Y)的联合概率密度有形式(V(r,y)eR2)11[(r-a)?(r-a)(y-b)(y-b)f(ar,y) =2(1 -p2) L2元0102V1-p20i010202其中-00a,b<0;0<01,0280;-1≤≤1.则称(X,Y)服从参数为a,b,1,02,p的二元正态分布，记为N(a,b,2.,p).试计算x和Y的边际概率密度。解：f(r,y)dyfx(a)11[(r-a)?.(r- a)(y -b) + (y - b)21dy2(1 -p2)20102V1-p2ai0102a2?-2puw+v21da2(1 - p2)802元01V1-p21-pu2+u11dept2元01/1(r-a)21erpl-202V2元01即x~N(a,o).类似可得Y~N(b,o2),其边际概率密度为fy(u)=,earp(-)2g7
~ 2.5.4. (X, Y )éÜVÇÝk/ª(∀(x, y) ∈ R 2 ) f(x, y) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 exp − 1 2(1 − ρ 2) (x − a) 2 σ 2 1 − 2ρ (x − a)(y − b) σ1σ2 + (y − b) 2 σ 2 2 Ù¥−∞ SVÇÝ" ): fX(x) = ˆ ∞ −∞ f(x, y)dy = ˆ ∞ −∞ 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 exp − 1 2(1 − ρ 2) (x − a) 2 σ 2 1 − 2ρ (x − a)(y − b) σ1σ2 + (y − b) 2 σ 2 2 dy = ˆ ∞ −∞ 1 2πσ1 p 1 − ρ 2 exp − u 2 − 2ρuv + v 2 2(1 − ρ 2) dv = ˆ ∞ −∞ 1 2πσ1 exp{−1 2 [( v − ρu p 1 − ρ 2 ) 2 + u 2 ]}dv = 1 √ 2πσ1 exp{−(x − a) 2 2σ 2 1 } =X ∼ N(a, σ2 1 ). aqY ∼ N(b, σ2 2 ), Ù>SVÇÝfY (y) = √ 1 2πσ2 exp{−(y−b) 2 2σ 2 2 }. 7