《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 线性变换

第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7. 3线性变换和矩阵7. 4不变子空间7. 5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值

7.1 线性映射 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵 课外学习8：一类特殊矩阵的特征值

当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange1736-1813）数与形，本是相倚依，爲能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。--华罗庚（1910－1985理学院数学系

理学院数学系 当代数和几何结合成伴侣时，他们 就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地 趋于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 -华罗庚（1910－1985）

线性映射7.1一、内容分布7.1.1线性映射的定义、实例7.1.2线性映射的像与核教学目的：二、1．准确理解线性映射的定义，能够判断给定的法则是否是一个线性映射2.正确理解线性映射的像与核的概念及相互间的联系，并能求出给定线性映射的像与核，三、重点、难点：判断给定的法则是否是一个线性映射；求出给定线性映射的像与核理学院数学系

理学院数学系 7.1 线性映射 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、实例. 7.1.2 线性映射的像与核. 二、 教学目的: 1．准确理解线性映射的定义，能够判断给定的法 则是否是一个线性映射． 2．正确理解线性映射的像与核的概念及相互间的 联系，并能求出给定线性映射的像与核． 三、 重点、难点: 判断给定的法则是否是一个线性 映射；求出给定线性映射的像与核．

线性映射的定义、例7.1.1设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设g是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称o是V到W的一个线性映射①对于任意 ≤,nE V,(+n)=o()+o(n)②对于任意 aEF,V,(a)=ao()容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：a,beF③对于任意和任意E,nevo(aE+bn)=ao()+bo(n)理学院数学系

理学院数学系 7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意  ,  V ,  ( )   ( )  (). a  F, V , (a )  a ( ) a,b F  ,  V ,  (a  b)  a ( )  b ()

在②中取α=0，对③进行数学归纳，可以得到：α(0)= 0(1)(2)o(aSi +... +anEn) = ajo(5)+...+ano(En例1的每一向量==(x1,x2）定义对于 R2o(E)= (xi,Xj - X2,X + x2)e R3R到g是R的一个映射，我们证明，是一个线性映射例2令H是V，中经过原点的一个平面.对于V，的每一向量S，令表示向量在平面H上的正射影根据射影的性质，:→α()是V,到V的一个线性映射理学院数学系

理学院数学系 在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） a  0  (0)  0 ( ) ( ) ( ) 1 1 n n 1 1 n n  a   a   a    a   例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 2 R   1 2   x , x     3 1 1 2 1 2    x , x  x , x  x  R 3 R 2 R 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， 是 到 的一个线 性映射. V3 V3     :    V3 V3

例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的每一向量Xio()=As规定：c（）是一个m×1矩阵，即是空间Fm的一个向量g是Fn到Fm的一个线性映射理学院数学系

理学院数学系 例3 令A是数域F上一个m × n 矩阵，对于n元列 空间 F n的每一向量        n x x x  2 1  规定：     是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量， σ是 到 的一个线性映射.    m F m F n F

例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量S，令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射例5令V是数域F上一个向量空间，耳取定F的一个数k，对于任意 V,定义o()=k5容易验证，是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似0()=5,特别，取k=1，那么对于每一=eV，都有这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么o就是V到V的零映射理学院数学系

理学院数学系 例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ，令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W 的一个线性映射，叫做零映射. 例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数 k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射.  V,    k  V,    

对于Fn例6取定F的一个n元数列ab..S规定的每一向量=（(xX.X=ajxXi +a2X2 +...+anxn E F容易验证，是Fn到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或Fn上一个线性型例7对于F[冈的每一多项式f（x），令它的导数与它对应，根据导数的基本性质，这样定义f'(x)的映射是F风到自身的一个线性映射理学院数学系

理学院数学系 例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定 容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性 型.  . a1 a2  an n F  . 1 2 n   x x  x     a1x1  a2x2  an xn  F n F n F 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射. f x

例8令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 f(x)eC[a,b]规定(f(x))= f'f(t)dtα(f(x）仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，是C[a，b]到自身的一个线性映射理学院数学系

理学院数学系 例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所 成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分 的基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射. f xCa,b,  f x f tdt x a      f x

7. 1. 2 纟线性映射的像与核定义2设g是向量空间V到W的一个线性映射(1)如果V'≤V,那么o(V)={o()IeV叫做在g之下的像(2)设W'CW,那么eVlo)eW叫做W在o之下的原像定理7.1.1设V和W是数域F上向量空间，而α:V→W是一个线性映射，那么V的任意子空间在g之下的像是W的一个子空间，而W的任意子空间在之下的原像是V的一个子空间理学院数学系

理学院数学系 定义2 设σ是向量空间V 到W 的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的像. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原像. V  V,  (V)  { ( )| V} V W   W , { V | ( )W} W 定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ 之下的像是W 的一个子空间，而W 的任意子 空间在σ 之下的原像是V 的一个子空间.  :V W