第二章习题课导数与微分导数和微分的概念及应用导数和微分的求法leD0x机动目录上页下页返回结束
习题课 一、 导数和微分的概念及应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数和微分的求法 导数与微分 第二章
导数和微分的概念及应用一、f(x+△x)- f(x)·导数：f(x)= lim△xAr-→0J*(x)当△x→0+时,为右导数当 △x→>0-时,为左导数f'(x)· 微分 : df(x)= f'(x)dx·关系：可导— 可微O0000x机动目录上页下页返回结束
一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 • 微分 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • 关系 : 可导 可微
·应用：(1）利用导数定义解决的问题1）推出三个最基本的导数公式及求导法则(C)=0;(lnx)=l;;(sinx)'=cos xY其他求导公式都可由它们及求导法则推出2）求分段函数在分界点处的导数，及某些特殊函数在特殊点处的导数3）由导数定义证明一些命题2)用导数定义求极限(3)微分在近似计算与误差估计中的应用O0000x机动目录上页下页返回结束
• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 C x x x x ( ) 0; (ln ) ; (sin ) cos 1 = = = 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设 f（xo）存在,求f(xo +△x +(Ax)))- f(xo)lim△x△x->0解:f(xo +△x +(△x))- f(xo) △x+(△x)2原式= lim△x +(△x)?Ax△x-→0= f'(xo)o000x机动目录上页下页返回结束
例1.设 ( ) 0 f x 存在,求 . ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 x f x x x f x x + + − → 解: 原式= + + − → x f x x x f x x ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 2 x + (x) 2 x + (x) ( ) 0 = f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(sin2 x + cos x)例2.若f(1)=0 且,f(1) 存在,求 limx-0(e*-1)tan xf(sin~ x + cos x)解： 原式= limfx->0lim(sin2 x +cos x)=1 且 f(1)= 0x-0联想到导数的定义式f(1+sin' x+cosx-l) - f(1) sin2 x+cos x-1= limfx->0sin' x + cos x-1)=f(1)f'(1).(1-Oe000x机动自录上页下页返回结束
例2.若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . ( 1)tan (sin cos ) lim 2 0 e x f x x x x − + → 解: 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)例3.设f(x）在x=2处连续,且lim3x-→2 x - 2求 f(2).f(x)解: f(2) = lim f(x) =lim[(x-2)=0x>2(x-2)x-→2f(x)- f(2)f'(2) = limx-2x-→2f(x)= lim3x-→>2 x- 2O10000x机动目录上页下页返回结束
例3.设 f (x) 在 x = 2 处连续,且 3, 2 ( ) lim 2 = → x − f x x 求 f (2). 解: f (2) = lim ( ) 2 f x x→ ] ( 2) ( ) lim[( 2) 2 − = − → x f x x x = 0 2 ( ) (2) (2) lim 2 − − = → x f x f f x 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2en(x-1)) +ax+b4xe例4.设 f(x)=limen(x-1) +1n-00试确定常数α,b使f(x)处处可导,并求f'(x)ax+b,x1x1时,f'(x)=2x利用f(x)在x=1处可导，得α+b=l=(a+b+l)f(1-)= f(1+)= f(1)即α= 2f'(1)= f*(1)O0000x机动自录上页下页返回结束
例4.设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a; x 1时，f (x) = 2x. f (1 ) = f (1 ) = f (1) − + (1) (1) − + f = f 利用 f (x)在 x =1处可导， 得 即 a +b =1 ( 1) 2 1 = a + b + a = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
ax+b,x1x1时，f(x)=2xf(1) = 2 α=2, b=-1.(2,x≤1f'(x)2x,x>1判别：f'(x)是否为连续函数？O10000x机动目录上页下页返回结束
a = 2, b = −1, f (1) = 2 = 2 , 1 2 , 1 ( ) x x x f x 判别: 是否为连续函数 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a, x 1时，f (x) = 2x
12x±0x sin-,讨论f(x)在x=0例5.设f(x)=x0,x=0处的连续性及可导性lim f(x) = lim x~ sin -= 0= f(0)解:x-0x-0x所以f(x)在x=0处连续sin 1xf(x)- f(O)= limlimx又x-0xx-0x1= lim xsin= = 0> f'(0)=0x-→0x即f(x)在x=0 处可导oleooox机动自录上页下页返回结束
设 解: 又 例5. 所以 在 处连续. 即 在 处可导 . 处的连续性及可导性. f (0) = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1）求分段函数的导数注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等→对数微分法(2）隐函数求导法转化极坐标方程求导(3）参数方程求导法(4）复合函数求导法(可利用微分形式不变性逐次求导归纳；(5）高阶导数的求法间接求导法；利用莱布尼兹公式000x机动目录上页下页返回结束
二、 导数和微分的求法 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 对数微分法 (3) 参数方程求导法 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 转化 (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束