第二章第三节高阶导数一、高阶导数的概念二、 高阶导数的运算法则leo0x机动自录上页下页返回结束
二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章
一、高阶导数的概念引例：变速直线运动s=s(t)ds速度即 V=s'V=dtdvd加速度a=dtdtd即a=(s')"oeoDex机动自录上页下页返回结束
一、高阶导数的概念 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.若函数y= f(x）的导数= f(x)可导,则称f(x)的导数为,f(x)的二阶导数，记作"或即2dxd"ydy"=(y)"或dx2dxdx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作.(4)(n)v",1(d'ydt yd" y或dx3'dx4dxn1eo00x机动自录上页下页返回结束
定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束
...+anx", 求 y(n)例1.设y=ao+ax+ax-+.解:y'= aI +2a2x+3a,x? + .+ na,"-1y" = 2 la2 + 3. 2agx +..+n(n -1)a,xn-2依次类推，可得y(n) = nlan7思考：设=x"（u为任意常数）,问(n）=？(x")(n) = μ(μ-1)(μ- 2)..(μ-n + 1)xu-noleoolox机动目录上页下页返回结束
设 求 解: y = a1 +2a2 x + −1 + n n na x y = 21a2 + a x 3 2 3 2 ( 1) − + + − n n n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3 a x 例1. 思考: 设 (为任意常数), y = x 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设y=eax, 求y(n)解：y'=aeax,"=α2eax, y"=α'eax1(n) =a"eax21-x特别有:(e")(n) =ex1(1 - x)2例3. 设 y= ln(1 + x),求 (n)11. 2解:1(1 +x)2(1 +x)31+ x= (-1)n-1 (n-1)!v(n)规定0！=1(1 + x)n(n -1)!思考: =ln(1-x), (n) =-(1-x)nolo0x机动自录上页下页返回结束
n (1+ x) , , y = a 3 e ax 例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y = ae , 2 ax y = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y − = − 1 1 y = − 2 (1 ) 1 − x , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 设y=sin x,求y(n)解： y'=cosx = sin(x+)y"= cos(x +)= sin(x++)= sin(x +2·)y" = cos(x+2·号) = sin(x +3·一般地，(sinx)(n)=sin(x+n·号)类似可证：(cos x)(n) = cos(x + n ·号)oeol00x机动目录上页下页返回结束
例4. 设 求 解: y = cos x sin( ) 2 = x + cos( ) 2 y = x + sin( ) 2 2 = x + + sin( 2 ) 2 = x + cos( 2 ) 2 y = x + sin( 3 ) 2 = x + 一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 n ) 2 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设y=eαxsinbx(a,b为常数),求y(n)解: y'= aeax sin bx + beax cos bx= eax (asin bx + bcos bx)= eax /a? +b? sin(bx+p)(β = arctan =ay"= Va? +b2 [aeax sin(bx +p)+ beax cos(bx +)]= a? +b? eax Va? +b? sin(bx+ 2p)by(n) =(a? +b2)2 eax sin(bx + np) (β = arctan=)aOeo0x机动目录上页下页返回结束
例5 . 设 y e bx ax = sin 解: y = ae bx + ax sin e (asin bx bcos bx) ax = + (a,b为常数), 求 . (n) y be bx ax cos ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 bx a b b bx a b a a b + + + + cos sin ax = e sin( ) 2 2 a + b bx + ( arctan ) a b = 2 2 y = a + b ( ) 2 2 2 ( ) n n y = a + b ax a b e 2 2 = + ( arctan ) a b = sin( 2 ) 2 2 a + b bx + e sin(bx n) ax + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 设 f(x)=3x3 +x2|x|，求使 f(n)(0)存在的最高阶数n= 2x≥04x分析:f(x)2xx<03-02x: f'(O)= lim:02. x≥012xxx-→0f7(x)31 6x2， x<0-04xf*(0)= lim=0xx-→0+6x2又 f"(O)= lim= 024x, x ≥0xx→0f"(x):l12x, x<012x2f(0) = lim=0xx-→0+但是 f"(0)=12，f"(0)=24，：:f"(0)不存在o000x机动目录上页下页返回结束
例6. 设 ( ) 3 , 3 2 f x = x + x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析: f (x) = 4 , x 0 3 x 2 , x 0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0 − = → − − = 0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0 − = → + + = 0 x 0 x 0 f (x) = 12 , 2 x 6 , 2 x f− (0) = x x x 2 0 6 lim → − = 0 f+ (0) = x x x 2 0 12 lim → + = 0 f (x) = 但是 (0) =12 , − f (0) = 24 , + f f (0) 不存在 . 2 又 24x, x 0 12x , x 0 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶导数的运算法则设函数u=u(x)及v=(x)都有n阶导数,则1. (u±v)(n) =u(n) ±v(n)2. (Cu)(n) = Cu(n)(C为常数)n(n --1(n-1)3. (uv)(n) =u(n)v+ nu(2!n(n-l)...(n - k +1)K+k!+..-+uv(n)莱布尼兹(Leibniz）公式10000x推导目录上页下页返回结束
二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + + 莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 推导 目录 上页 下页 返回 结束
例7. =x2e2x,求y(20)解： 设 =e2x,V=x2,则u(k) =2ke2x (k=1,2,*-, 20)v'=2x, v"=2,v(k) =0 (k=3,.., 20)代入莱布尼兹公式，得20.190182xy(20) = 220 e2x. x2 +20 .219 e2x. 2x .2e2!= 220 e2x(x2 +20x +95)leo0x机动目录上页下页返回结束
例7. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v = 2x , v = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2 x x e 19 2 + 20 2 2x 2 ! 2019 + 2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 , , 20 ) (k = 3 , , 20) 机动 目录 上页 下页 返回 结束