第二章第二节函数的求导法则四则运算求导法则二、 反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题olelox机动目录上页下页返回结束
第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章
思路：f(x+△x)- f(x)f'(x) = lim（构造性定义）△x△x-0本节内容V求导法则(C)= 0(sin x)'= cos x证明中利用了1其它基本初等(lnx)==两个重要极限函数求导公式x初等函数求导问题oleo0x机动目录上页下页返回结束
思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C ) = (sin x ) = (ln x ) = 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、四则运算求导法则定理1. 函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数>u(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导，且(l) [u(x)±v(x)}' =u'(x)±v'(x)(2) [u(x)v(x)])' = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)u'(x)v(x) -u(x)v'(x)u(x)(3)(v(x) ±0)v?(x)v(x)并同时给出相应的推论和下面分三部分加以证明例题.1eo0x机动自录上页下页返回结束
一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x) 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(l) (u±v)'=u'±v"证: 设 f(x)=u(x)±v(x),则f(x+h)-f(x)f'(x) = limhh->0[u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)±v(x)]= limhh->0u(x+h)-u(x)v(x+h) -v(x)= lim± limhhh->0h->0=u'(x)±v'(x)故结论成立此法则可推广到任意有限项的情形.例如例如, (u+v-w)'=u+v'-wOo0x机动自录上页下页返回结束
此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u v) = u v f (x) = u(x) v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − → = u (x) v (x) 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如
(2) (uv)'= u'v+uv"证: 设 f(x)=u(x)v(x)，则有f(x+h)- f(x)u(x +h)v(x +h)-u(x)v(xf'(x) = limlimhhh→>0h→>0u(x+h)-u(x)(x+h)+ u(x) (x+h)-v(x)= limhhh→0l= u'(x)v(x) +u(x)v(x)故结论成立推论：l）（Cu）=Cu'（C为常数）2) (uvw)'= u'vw +uv'w +uvw"1(Inx3)(logax)lnaxlnaeool0?机动自录上页下页返回结束
(2) (uv) = u v +uv 证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立. + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h) − + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu u vw+ uv w+ uvw 3) (loga x ) = a x ln ln x ln a 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例1. = /x(x3 =4cos x-sinl),求y'及ylx=l解: y'=(x)(x3 -4cos x-sinl)+/x (x3 - 4cos x-sinl)-4cosx-sin1)+/x(3x2 +4sinx)22x(1-4cos1- sin1) +(3+ 4sin1)277sin1-2cos122oleo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 解: + 4sin x (1 2 1 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)（")_u-u'21u(x)则有证：设 f(x)=v(x)u(x+h) u(x)f(x+h)- f(x)v(x +h)v(x)f'(x) = limlimhhh-→0h-→0v(x+h) -v(x)u(x+h) -u(x)2 v(x) -u(x)1hh= limh-→0v(x +h)v(x)u'(x)v(x)-u(x)v(x)故结论成立v?(x)(S)==C推论：（C为常数）.2VVoeolo0x机动目录上页下页返回结束
+ = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x = 推论: ( ) 2 v Cv v C − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例2. 求证(tan x)= sec2 x,(csc x)=-csc xcot x .sin x(sin x)'cos x - sin x(cos x)证： (tan x)=1cos~ xcoS x2cOSx + sin= xO secxcos-x(sin x)"- cos x(csc x)22sinxsin' xsin' x= -cscxcot x类似可证：(cot x)'=-csc2 x，(sec x)'= secxtanx.oeo00x机动目录上页下页返回结束
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、反函数的求导法则定理2.设y= f(x)为x=f-l(y)的反函数，f-(y)在的某邻域内单调可导，且［f-(y)}" d y11或f'(x)d x[f-l(y)}'d xdy证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知1AyAy= f(x+△x)- f(x) + O, :AxAxAy且由反函数的连续性知△x→0时必有△→0，因此y11f'(x)= limlimAxAx->0 △xAy->0[f-"(y)]AyO10000x机动目录上页下页返回结束
f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求反三角函数及指数函数的导数元元解:l)设y=arcsinx,则 x=siny，yE22.: cos y>O,则111(arcsin x)'(sin y)V1-sin2ycos y1V1-x2利用1元(arccos x)' =arccos x :arcsin x2/1-x2类似可求得11(arctan x)"(arccot x)"221+x1+ xO10o0x机动目录上页下页返回结束
例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 ( y − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = − 利用 cos y 0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束