第一章第二节极限(1)-数列极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、极限存在准则oleoolox机动目录上页下页返回结束
第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限(1)-数列极限
一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆，用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S.元如图所示，可知n元元An = n r2 sin cos"1nn(n=3,4,5,...)当n无限增大时，An无限逼近S(刘徽割圆术)数学语言描述：ε>O，正整数N，当n>N时,总有[An-S|<10000x刘徽目录上页下页返回结束
数学语言描述: r 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 n 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 0, 正整数N, 当 n > N 时, A − S n 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义：按一定顺序排列的可列个数Xi,X2，,Xn，称为一个数列，记作（x，．xn 称为通项(一般项)123n例如,2’324n+1n18Xnn+1n+(-1)n-1342342nn+(-1)n-1→1(n→8)Xn :n趋向于确2,4,8,...,2n,定常数Xn =2n↓8n:1, -1,1, .. ,(-1)n+1Xn =(-1)n+1趋势不定oool0x机动目录上页下页返回结束
例如, , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n +1 = n n xn →1 (n →) n n x n n 1 ( 1) − + − = →1 (n →) 2 , 4 , 8 , , 2 n , n n x = 2 → (n →) 1 ( 1) + = − n n x 趋势不定 机动 目录 上页 下页 返回 结束 趋向于确 定常数 定义: 按一定顺序排列的可列个数 称为一个数列, 记作 称为通项(一般项) . 1 2 , , , , n x x x
定义：若数列（xn）及常数α有下列关系Vε>O,正数N,当n>N时,总有N)几何解释：即xnEU(α,)(n>N)α- Xn+1 α xn+2a+s1eo00x机动自录上页下页返回结束
若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) a − x a + n (n N ) 即 x (a, ) n (n N ) x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义:
1.由于ε可以任意小，因此领域U(α,)也可以说明：任意小，但无论多么小，都能使x，从某一项以后所有项都落在这个领域内，而在领域外至多只有N个点，这表明数列(x所对应的点列除前面有限个点外都能够凝聚在点α的任意小的领域内，即{x中的项到一定程度是变化很微小，呈现出一种稳定的状态这种稳定状态就是称为收敛的一种涵义2.ε是与xn，a，n有关的任意小的正数，它具有二重性，即任意性和相对固定性，且任意性通过无穷多个相对适定性表现出来3.N依赖于ε.一般来说，ε越小，N越大.N不唯一10000x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 由于ε可以任意小, 因此领域 U(a,ε) 也可以 任意小, 但无论多么小, 都能使 {xn} 从某一项以后所 有项都落在这个领域内, 而在领域外至多只有 N 个 点, 这表明数列{xn} 所对应的点列除前面有限个点外, 都能够凝聚在点a的任意小的领域内, 即{xn} 中的项 到一定程度是变化很微小, 呈现出一种稳定的状态, 这种稳定状态就是称为收敛的一种涵义. 说明: 2.ε是与 xn , a , n 有关的任意小的正数, 它具有二重性, 即任意性和相对固定性, 且任意性通过无穷多个相对固 定性表现出来. 3. N 依赖于ε, 一般来说, ε越小, N 越大, N 不唯一
“-N”方法1.“-N"方法的步骤(1）.给定任意小的正数(2).解不等式|xn-α|N(4).由|xn-α|0.选取满足定义要求的N3.寻找N的一般方法和规律：(1).直接法：即从/xn一α|N()再选取N.oleoolox机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ε-N ” 方法 (1) . 给定任意小的正数ε. 3. 寻找 N 的一般方法和规律： 1. “ε-N ” 方法的步骤: 2. “ε-N ” 方法运用的关键： (2) . 解不等式 | xn – a | N . (4) . 由 | xn – a | 0, 选取满足定义要求的 N . (1). 直接法: 即从| xn – a | N (ε) 再选取 N
(2).间接法：N的选取并不是唯一的,在很多情形下直接解xn一α」<很不方便，这是将间接寻找 N首先将xn一α|适当放大，使得I x,-aα<(n)≤P(n)≤...≤β再由不等式β,<ε来确定 N.10000?机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2). 间接法: N 的选取并不是唯一的, 在很多情形下, 直接解| xn – a | <ε很不方便, 这是将间接寻找 N. 首先将| xn – a |适当放大, 使得 1 2 | | ( ) ( ) n n x a n n − 再由不等式 n 来确定 N
n+(-1)"证明数列x，的极限为1例1. 已知xnnn+(-1)1证：xn-1|nnl二1>0,欲使|xn-1|N 时,就有8n+(-1)n1eo00x机动自录上页下页返回结束
例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: xn −1 = 1 ( 1) − + − n n n 0 , 欲使 即 只要 1 n 因此 , 取 ], 1 [ N = 则当 n N 时, 就有 − + − 1 ( 1) n n n 故 1 ( 1) lim lim = + − = → → n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(-1)n证明 lim x,=0.例2.已知x(n + 1)?n->001(-1)n10证：|xn-0|=+1)2(n +1)n+1n-1V(O,1),欲使|xn-0|二.n+18取 N=[--1],则当 n>N时,就有|xn-0|0说明：N与 ε有关,但不唯一取N=[-1]不一定取最小的 N.eo00x机动自录上页下页返回结束
例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1 N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 1 1 = − N 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设|q1+In| qIng,则当 n>N 时，就有因此,取N=1+In qq<lim qn-1=0故n→81eo00x机动自录上页下页返回结束
例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束