第三章第三节泰勒（Taylor）公式理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用O0000x机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：f(x) = f(xo)+ f(xo)(x-xo)y= f(x)pi(x)pi(x)x的一次多项式+ x特点: pi(xo)= f(xo)Xo x以直代曲pi(xo) = f'(xo)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？O0000x机动目录上页下页返回结束
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式pn(x)，要求：Pn(xo) = f(xo), Ph(xo)= f(xo), * ph")(xor(n) (xo)Pn(x) = ao +ai(x-xo)+a2(x - xo)2 +..+an(x - xo)n令ai + 2a2(x- xo)+...+ nan(x- xo)n-1则pn(x) =2!a2 +...+n(n-1)an(x-xo)n-2pn(x) =n!anp("(x)=ai = pn(xo) = f'(xo)ao = pn(xo)= f(xo),a2 ="(x0)="(x0), ,an =p"(xo)= (m)(xo)故 Pn(x)= f(xo)+ f'(xo)(x-Xo)+ f"(xo)(x-xo)2 +..+n (n)(xo)(x -xo)nO000x机动目录上页下页返回结束
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( )0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2 ! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n an = ! ( ) ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n na x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
2.余项估计令 R(x)=f(x)-Pn(x)(称为余项)，则有Rn(xo) = R(xo) = ... = R(n)(xo) = 0R(x)(x-xo)n+1R',(5)R,(x)- R(xo)(i在x与x之间(x-xo)n+1_ 0 (n+1)(-x)"R(52)R,(1) - R,(xo)(三2 在xo 与i之间)(n+ 1)(5i - xo)"-0 (n +1)n(≤2 -xo)n-1R(n+1)(E)R(n)(En) - R(n (xo)之间)在xo与x(n +1)...2(En - xo)- 0(n +1)!O000108机动自录上页下页返回结束
) 0 ( 在x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − = 2. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在x 与x之间) 1 2 0 ( 之间 在 与 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
R(x) = f(x)- pn(x)R(n+)(3)R,(x)(三在Xo 与x之间)n+l(x-xo)"(n+1l)!(x) = 0, :. R(n+l)(x) = f(n+1)(x)()n+1(≤在xo与x之间)X(n+1)!L f(n+I)(x)|≤M 时当在 xo 的某邻域内M[n+1[Rn(x)≤C-Xo(n+1)!:. Rn(x) =o(x - xo)")(x→ xoO0D0机动自录上页下页返回结束
R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Th.泰勒中值定理：若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则当 xE(α,b)时,有X.f(x) = f(xo) + f'(xo)(x-xo) +2!-xo)"+ R,(x)1n!()+其中R,(x)(在xo 与x之间) ②XX(n+l)!公式①称为f(x)的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项o0o0108泰勒自录上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . Th. 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到?Rn(x) = o[(x-xo)n在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为"(xf(x)= f(xo) + f(xo)(x- xo) +"2!-xo)" +o[(x-xo)"]4n!公式③称为n阶泰勒公式的皮亚诺(Peano）余项O0000x机动目录上页下页返回结束
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的皮亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x) = f(xo) + f(xo)(x- xo)+.:2!(En+1x一Xn!(n+1)!(在xo与x之间特例:(1)当 n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值定理f(x)= f(xo) + f'()(x -xo)(三在xo 与x之间)(2)当 n =1 时,泰勒公式变为Cf(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)2(在xo 与x之间)l f(x) ~ f(xo)+ f'(xo)(x-xo)可见dff"(s)误差(x-xo)2(在x与x之间)R(x)2!0o010x机动目录上页下页返回结束
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取 xo=0,=x（0<<1),则有(0)f"(0)rf(x) = f(O)+ f'(0)xx2!n!f(n+1) (0 x)n+1(n+l)!称为麦克劳林（Maclaurin）公式。由此得近似公式f"(0)f(x) ~ f(O) + f'(O)x2!n!n-) (x)若在公式成立的区间上≤ M,则有误差估计式M[n+1Rn(x)|≤x(n+1)!Oo00x麦克劳林目录上页下页返回结束
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式(l) f(x) =erEexf(k=1,2,...1V23nx+21+x+Rx2!3!n!0xen+1其中(0<0<1)Rn(x)X(n+l)!O000x机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) , (k) x f x = e (0) 1 ( 1,2, ) f (k ) = k = x e =1 + x 3! 3 x + + n ! x n + R (x) + n 2! 2 x + 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束