第四章习题课定积分的应用1.定积分的应用几何方面：面积、体积、弧长、表面积物理方面：质量、作功、侧压力、引力、转动惯量.2.基本方法：微元分析法微元形状：条、段、带、片、扇、环、壳等oeoo0x机动目录上页下页返回结束
习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第四章
例1.求抛物线 y=1-x2在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小解：设抛物线上切点为M(x,1-x2)则该点处的切线方程为LY -(1- x2)=-2x(X -x)它与x，y轴的交点分别为X(+1,0), B(0, x2 +1)AC21所指面积1 (x2 +1)2+1r2-S(x) =324x2xO0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S(x)=(x2 +1)· (3x2 -1)令 S(x)=0,得[0,1] 上的唯一驻点 x=2x0x>V3因此x=是 S(x)在[0,1]上的唯一极小点3且为最小点：故所求切线为2/34YX +33Oe00x机动自录上页下页返回结束
且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设非负函数 f(x)在[0,1]上满足 x f(x)=f(x)+号x2,曲线=(x)与直线×=1及坐标轴所围图形面积为2，(1)求函数f(x);(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体体积最小？解：（1）当x≠0时，由方程得3x f(x)- f(x)?即Q?fu22x32故得f(x)+Cxax2O0000?机动自录上页下页返回结束
例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
C3a'(又f(x)dx =2 =dx =-ax-10221232C= 4-af(x)(4-a)x+ax-2(2）旋转体体积1元a+a+16元3100元0a+1)=0,得a=-5x35元V"又0.15：α=-5为唯一极小点,因此α=-5时 V取最小值o0000机动目录上页下页返回结束
又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . x o y 1 x o y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 证明曲边扇形 0≤α≤≤β,0≤r≤r(の),绕极轴2元／P[βr3(①)sinde.旋转而成的体积为V01321.(证：先求[Q,θ+d1上微曲边扇形dde绕极轴旋转而成的体积dVox：体积微元rddr·2元rsin0:readrdVox =2元 sind0x2元r3 (@) sin 0d032元Pβr3(0)sin0d0故Vox3Oe00x机动自录上页下页返回结束
例3. 证明曲边扇形 绕极轴 ( )sin d . 3 2 3 = V r ox r = r( ) x d d r 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 r 故 = ( )sin d 3 2 3 V r ox 旋转而成的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求由=2x与=4x-x2所围区域绕=2x旋转所得旋转体体积解：曲线与直线的交点坐标为A(24),曲线上任一点uP(x,4x-x2)到直线 y=2x的距离为A/y=2xp=/ x2 -2x|/y=4x-x以y=2x为数轴u(如图),则PdudV=πp2du (du=~5dx)I1=π·(x2 -2x)2 . /5d xdx12故所求旋转体体积为161(x2 - 2x)2~/5 d xV=π5元75o0000?机动目录上页下页返回结束
y = 2x 2 y = 4x − x o (du = 5 d x) 故所求旋转体体积为 (x 2x) 5d x 2 2 5 1 = − 5 75 16 V (x 2x) 5d x = 2 2 2 0 5 1 = − dV du 2 = A P d x 2 du 例4. 求由 y = 2x 与 2 y = 4x − x 所围区域绕 y = 2x 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2,4), 曲线上任一点 ( ,4 ) 2 P x x − x 到直线 y = 2x 的距离为 以y = 2x为数轴 u (如图), u 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.半径为 R,密度为 p 的球沉入深为H（H>2R）的水池底,水的密度po<p,现将其从水池中取出，需做多少功？解：建立坐标系如图.则对应「x,x+dx上球的薄片提到水面上的微功为HdWi = (p-Po)g πy2 dx.(H- R+x)=(p- Po)gπ(R2 -x2)(H - R+x)dx0x提出水面后的微功为微元体积dW2= pgy~ dx·(R-x)x所受重力(x,y)上升高度= pg(R2 -x2)(R-x)dxO0000?机动目录上页下页返回结束
例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 [x, x + dx] 上球的薄片提到水面上的微功为 dW1 = y dx 2 提出水面后的微功为 dW2 g d ( ) 2 = y x R − x g (R x )(R x)dx 2 2 = − − ( )g (R x )(H R x)dx 2 2 = − 0 − − + H (x, y) x x y o 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 ( − 0 )g (H − R + x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此微功元素为dW = dWi + dW2= gπ[(p-Po)H + Po(R-x)](R2 - x2)dx球从水中提出所做的功为[(p- Po)H + Po(R-x)l(R2 - x2)dxW=g元“偶倍奇零”(R2 - x2)dx= 2 g π[(p- Po)H + PoR] lH4=元R3[(p- Po)H + PoR]g3O0000x机动目录上页下页返回结束
因此微功元素为 dW = dW1 + dW2 球从水中提出所做的功为 W H R x R x x R R [( ) ( )]( )d 2 2 = − 0 + 0 − − − g “偶倍奇零” R x x R ( )d 2 2 0 − 2g [( ) ] = − 0 H + 0R H x o x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.设有半径为R的半球形容器如图(1)以每秒α升的速度向空容器中注水，求水深为为h(0<h<R）时水面上升的速度(2）设容器中已注满水，求将其全部抽出所做的功最少应为多少？解：过球心的纵截面建立坐标系如图yt则半圆方程为Rx? = 2Ry-yh设经过 t 秒容器内水深为h,则 h = h(t)0xO0000X机动目录上页下页返回结束
例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. o x y 则半圆方程为 h R 设经过 t 秒容器内水深为h , 则h = h(t). 机动 目录 上页 下页 返回 结束