第十章第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系e000x机动目录上页下页返回结束
第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章
一、有向曲面及曲面元素的投影双侧曲面·曲面分类曲面分内侧和单侧曲面外侧曲面分左侧和曲面分上侧和莫比乌斯带右侧下侧(单侧曲面的典型）Oe00X机动目录上页下页返回结束
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
·指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封闭曲面cos βcOS cOs α外侧>0 为前侧>0为上侧>0 为右侧侧的规定内侧O时类似可规定(△S)xy =人-(△g )xys当cos<O时(△S) yz (△S) zx当cos=O时0,O000?机动自录上页下页返回结束
其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, S S (S) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影区域 的面积为 规定为 ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 在 xoy 面上的有向投影
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x, y,z))求单位时间流过有向曲面乙的流量Φn分析：若Z是面积为S的平面法向量： n=(cosα,cosβ,cosy)流速为常向量：则流量Φ=S.cos0=Sv.nOe00X机动目录上页下页返回结束
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S 分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对一般的有向曲面乙，对稳定流动的不可压缩宿流体的速度场 =(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)ni,yi用“大化小，常代变，近似和，取极限"n进行分析可得 Φ = lim, -n;AS;1-0i=1Z设 n; =(cosαi,cos βi,cosi),则nZ[ P(si, ni,Si)cosα; +Q(5i, ni,Si)cos βΦ= lim 1-0i=1+ R(Si, ni,S)cos Yi ]ASn lim-E[ P(5i, ni,Si)(AS,) yz +Q(5i, Ni,Si)(AS,)z1-0i-1+ R(5i, ni,S)(△S,)xy ]o0l00x机动目录上页下页返回结束
对一般的有向曲面 , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” = n i 1 0 lim → = 0 lim → = = n i 1 P i i i i ( , , )cos R i i i i + ( , , )cos 0 lim → = = n i 1 Q i i i i + ( , , )cos Si 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i ni Si v (cos , cos , cos ) ni i i i 设 = , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义.设Z为光滑的有向曲面，在上定义了一个向量场 A=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,J,z)), 若对Z 的任意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在nlimZ[P(5i, ni, Si)(△S,) yz2-0i=1+Q(Si, ni,S)(△S,)zx + R(5i, Ni,Si)(△S;)xy]则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积分，或第二类曲面积分．记作Pdx( Pdyd z + Qd zd x+ Rdxdydy+dzRP,Q,R叫做被积函数；叫做积分曲面CO0000x机动目录上页下页返回结束
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[,Pdydz称为P在有向曲面Z上对 y,z的曲面积分;J,Qdzdx 称为Q 在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;J,Rdxdy称为R 在有向曲面Z上对 x,的曲面积分.引例中，流过有向曲面乙的流体的流量为@=1((_ Pdydz +Qd zd x+ Rdxdy若记Z正侧的单位法向量为n=（cosα,cosβ,cos）今dS-ndS=(dydz, dzdx, dxdy)A=(P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z))则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式Oe00x机动自录上页下页返回结束
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy= J, A-ndS = J, A.ds3.性质k(1)若=UJ;,且Z,之间无公共内点,则i-1kJJ,A.dS -ZJ A.dsi=1(2)用>"表示≥的反向曲面,则Jl-A.dS--J, A.dsOe00x机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则 Ad S i A d S Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = A nd S = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、对坐标的曲面积分的计算法定理：设光滑曲面:z=z(x,y),(x,y)Dxy取上侧R(x,y,z)是Z上的连续函数,则, R(x,y,z)dxd y = JJ,R(x, y,z(x,y)) dxd yn证:((_ R(x,y,z)dxd y = limYR(5i, Ni, S)(△S,)xy1-0i=1:Z 取上侧, : (△S,)xy =(△o;)xySi = z(Si, ni)nZ R(5i, ni, z(5i, ni) (Ao)xy= lim1-→0i=1R(x, y, z(x,y))d xd yx1O0000?机动自录上页下页返回结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 上的连续函数, 则 R(x, y,z)d xd y ( , , ) = D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim → = = n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i = z 0 lim → = = n i 1 ( , , ) R i i i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d = R(x, y,z)d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：如果积分曲面≥取下侧，则J, R(x, y,z)dxd y=-JJD R(x,y, z(x,y)dxd y若Z: x=x(y,z),(y,z)e Dyz,则有[J, P(x, ,z)d ydz =±JJDP(x(y,z),y,z)d ydz(前正后负）若Z: =(z,x),(z,x)EDz,则有-[J, Q(x, y,z)dzd x= ±JJDQ(x, y(z,x),z)dzdxZX(右正左负)Oe000x机动目录上页下页返回结束
• 若 则有 P(x, y,z)d ydz P( , y,z) Dyz = x(y,z) d y d z • 若 则有 Q(x, y,z)d z d x ( , , z ) = Dzx Q x y(z, x) d z d x (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 R(x, y,z)d xd y ( , , ) = − Dxy R x y z(x, y) d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束