第五章第三节高阶微分方程(1)可降阶的高阶微分方程：J(n)=f(x) 型的微分方程二、 "=f(x,J)型的微分方程三、 y"=f(y,y)型的微分方程000l00机动目录上页下页返回结束
高阶微分方程(1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第五章 可降阶的高阶微分方程:
一、 J(n)=f(x)型的微分方程dz令z= J(n-1),则=y(n)= f(x),因此dxz = J f(x)dx+Ci即y(n-1) =J f(x) dx+Ci(n-2) = J[J f(x)dx +C Jdx +C2同理可得= J[J f(x)dx Jdx +Cjx+C2依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解oe000x机动自录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求解 y" = e2x - cos x.e2r- cos x )dx +C解："=12x- sin x + Cie22x+cos x +C'x+C2e412xe+sin x +Cx*+C2x+C8C'(此处C)一2Oe000?机动目录上页下页返回结束
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x = − + 1 2 sin 2 1 e x C x = − + x y e 2 4 1 = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.质量为m的质点受力F的作用沿0x轴作直线运动设力 F仅是时间t的函数：F=F（t).在开始时刻t = O 时 F(O)= Fo，随着时间的增大,此力 F均匀地减小,直到t= T时F(T)=O.如果开始时质点在原点，且初初速度为0，求质点的运动规律解：据题意有Fd? xFFm4(t)0dt2Fo(1-mdxt=0 =00T tdt对方程两边积分，得O0000X机动目录上页下页返回结束
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = (1 ) 0 T t m F = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2Fodx(tdt2Tmdxt=0 = 0 得Ci = 0, 于是利用初始条件dt2dxFodt2Tm3Fo两边再积分得x261m再利用xt=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为Fo2x2m3TO0000x机动自录上页下页返回结束
1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 "=f(x,y）型的微分方程注：方程特点是设 y'=p(x),则y"=p,不显含变元y则原方程化为关于p的一阶微分方程p'= f(x,p)设其通解为p=(x,C)则得y'=β(x,Cl)再一次积分，得原方程的通解y= J β(x,C)dx + C2O0000x机动自录上页下页返回结束
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 则原方程化为关于 p 的一阶微分方程: 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 方程特点是 不显含变元 y
(1+ x)y" = 2xy例3.求解(J|x=0 =1，J'|x=0 =3解：设y=p(x)，则y"=p,代入方程得2xdxdp分离变量(1+ x2)p'= 2xp(1+x2)p积分得 Inp=ln(1+x2)+lnC l,即p=C(1+x2)利用 |x=0=3,得C=3,于是有'=3(1+×2)两端再积分得y=x3+3x+C2利用 J|x=0 =1,得 C2=1,因此所求特解为y=x3 +3x+1Oe00x机动自录上页下页返回结束
例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 + = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
绳索仅受例4．设有一均匀，柔软的绳索，两端固定重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？解：取坐标系如图.考察最低点A到任意点M（x,y）弧段的受力情况MA点受水平张力 HM点受切向张力Tpgs弧段重力大小pgs（p：密度，s：弧长）0x按静力平衡条件，有Tcosθ=H,Tsinθ=pgs1两式相除得(其中a=Htan == spga故有"=-/1+y? dx →=二Oe000x机动目录上页下页返回结束
例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs o y x ( ) g H a 其中 = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设|OA|=α.则得定解问题[y"=/1+y"2悬链线MJ|x=0 =a, y'|x=0 = 0Fdpa原方程化为令 y'= p(x), 则 y"pgsdxx0dpdxArsh p=In(p+ /1+ p?/1+pa两端积分得 Arshp=+Ci,由y|x=0=0得Ci=0,y'= sh =则有q两端积分得 =αch+C2,由|x=0=a,得C2=0小a+e故所求绳索的形状为 =αch02aOe000x机动目录上页下页返回结束
M gs o y x H A 1 2 y 1 y a = + 设 OA = a, 则得定解问题: 令 y = p(x), , d d x p 则 y = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( ) 2 a x a x e e a − = + 悬 链 线 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、J"=f(y,J)型的微分方程注：方程特点是不显含变元x，故可把暂做这类方程的自变量dpdpdpdy令y'= p(y),则 y"dydxdxdydp故方程化为f(y,p)dy设其通解为 p=β(y,C),即得y'= p(y,C1)分离变量后积分，得原方程的通解dy=x+Cp (y,C)O0000机动自录上页下页返回结束
三、 y = f (y, y ) 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 方程特点是不显含变元 x, 故可把 y 暂做这类方程的自变量